你怀疑你的教授误解了你是对的。

正确的答案是，对于教师专业知识驱动的学生成绩提高百分比，我们无话可说。什么都没有。

为什么会这样？报价是根据方差解释的。解释的方差与测量量表的实际值无关 - 学生成绩的任何百分比提高都将被考虑在内。两者是完全分开的。

让我们看一个例子。下面是一些模拟数据：

代码：

nn <- 1e2
set.seed(1) # for reproducibility

teaching_expertise <- runif(nn)
student_achievement <- 5+0.1*teaching_expertise+rnorm(nn,0,0.05)
model <- lm(student_achievement~teaching_expertise)

plot(teaching_expertise,student_achievement,pch=19,las=1,
    xlab="Teaching Expertise",ylab="Student Achievement")
abline(model,col="red")

请注意，这model是正确指定的：学生成绩线性取决于教学专业知识，这就是我所建模的。这里没有便宜的技巧。

我们有$R^2=0.30$，因此教学专业知识确实占学生成绩的 30%（见此处）：

> summary(model)

Call:
lm(formula = student_achievement ~ teaching_expertise)
... snip ...
Multiple R-squared:  0.304,     Adjusted R-squared:  0.2969

然而，这是我们预测的最底层教师（教学专业知识为 0）与最顶端教师（1）的学生成绩：

> (foo <- predict(model,newdata=data.frame(teaching_expertise=c(0,1))))
       1        2 
4.991034 5.106651

改进的顺序是$\frac{5.11-4.99}{4.99}\approx 2.4\%$.

> diff(foo)/foo[1]
         2 
0.02316497

（另外，这是预期的成就。实际的成就会有所不同。随着回归平均值通常在极端情况下更强，实际差异会更小。）

你知道吗？我们可以将此百分比更改更改为几乎任何我们想要的数字。甚至是负百分比的改善！如何？只需在上面的数据模拟中更改那个无害的数字5，即截距。

这是怎么回事？方差解释测量模型减少（平方和）残差的量，即回归线的残差与总体平均值的残差之间的差异。通过改变截距（the 5），我们可以上下移动一切。包括整体平均水平。因此，更改截距将使方差解释完全不变。（如果你有 R，试试这个。我们会等。）

但是，上下移动所有内容都会改变具体分数。特别是“好”老师与“坏”老师的百分比提高。如果我们将所有内容都降低得足够多，那么“坏”老师的学生成绩就会很差。“好”老师相对于负基线的积极变化会给你带来负百分比的改进。（再一次，试试这个。截取-1作品。）

是的，当然，这种负百分比改进在这里毫无意义。这只是说明方差解释与测量改进百分比之间存在零关系的事实。

Hattie 2003的论文提到了一种忽略交互作用的简单层次线性建模形式。论文对 30% 的描述不是特别透彻，参考文献中的链接断开，很难看出这个数字的来源。我假设他的方法依赖于部分 R-squared。

答案是否定的，从一个坏老师变成一个好老师不能指望提高 30% 的成绩。这两个 30% 的测量值完全不同。

例如，假设性能遵循以下等式：

$$\text{performance} = \beta_0 + \beta_1 ~\text{studentEffort} + \beta_2 ~\text{teacherEffort} + \text{noise}$$ 如果$\beta_2$很小，随着teacherEffort 的变化，性能图将几乎是平坦的。无论发生什么情况都可能发生这种情况$R^2$是或它可能如何分成部分$R^2$的。

换句话说，说教学工作量占变异的 30% 并不能告诉您数据集上的变异是什么，即性能发生了多少变化。

你写道“教学专业知识占学生成绩差异的 30%”意味着教师对学生成绩的 30% 负责。

一个更好的表述应该是“老师要对学生之间表现差异的 30% 负责”。

也就是说，如果某组学生A老师的平均成绩是80分，另一组学生B老师的平均成绩是70分，那么A老师和B老师的成绩可以占3分左右（30% 10 点的性能差异）。