独立同分布样本$X_1,\dots,X_n$来自一个有 cdf 的规模家庭$F(\frac{x}{\sigma})$拥有$S(X)$作为辅助统计如果$S(X)$仅取决于样本通过$\frac{X_1}{X_n},\cdots,\frac{X_{n-1}}{X_n}$.

1. 这个结果也足够了吗？
2. 不一定是尺度族的一般指数族是否有平行结果？（不是渐近结果，请参阅下面的更新）

如果是，我想看一些参考资料；如果不是，为什么不可能？

注意：阅读 B. Efron 关于指数族几何的论文我现在认为这应该以某种方式与指数族的几何性质有关。

但是我很难想象几何对象辅助统计应该对应于什么。首先我认为它应该是普通的捆绑包，但后来我发现它已经足够了。

关于这个问题的更新：

在仔细研究 [1] 之后，我认为辅助统计是指似然比（衍生）辅助统计，而不是 Efron-Hinkley 仿射辅助统计。[1，图 1] 显示了它们边缘密度的差异。

[2] 中@kjetilbhalvorsen 的精彩评论指出的结果没有解决我的问题。

[2] 围绕 pp.30-45 讨论了几个例子，并提出了一个简单的案例，其中同时引入了 S-充足的 S-辅助。IE$(\psi,\chi)$是指数族的参数，然后$S=(T,A)$是参数的最小充分统计量$psi$感兴趣的。我们称之为统计$A$如果分布是 S-cut$T\mid A$只取决于$\psi$和分布$A$只取决于$\chi$. 如果我们通过分解来查看它，这实际上会提示我们$(T,A)_{(\psi,\chi)}\overset{d}{=}(T\mid A)_{\psi}\cdot (A)_{\chi}$. 从几何上来说，这只意味着我们可以找到一个统计子空间$A$并以直接产品的形式写出来。这并不有趣，因为我们知道最小的足够统计并不总是存在。[2] 中的一个有用示例是它给出了近似公式 ($p^{\dagger}$-公式，6.10) 用于辅助统计，后来证明它是$\sqrt{n}$-持续的。但是，它没有显示任何几何特征，因为如果$n\rightarrow\infty$那么任何这样的近似基本上描述了局部高斯空间。

[1] Pedersen, Bo V. “在特定示例中比较 Efron-Hinkley 辅助和似然比辅助。” 统计年鉴（1981）：1328-1333。

[2]考克斯、博士和 OE Barndorff-Nielsen。推理和渐近。卷。52. CRC 出版社，1994 年。