所需的规律性条件在大多数中级教科书中都有列出，与mle没有什么不同。以下涉及单参数情况，但它们对多参数一的扩展很简单。

条件 1：pdf 是不同的，即$\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

请注意，此条件实质上表明该参数标识了 pdf。

条件 2：都有共同的支持$\theta$

这意味着支持不依赖于$\theta$

条件 3：点，即实参数，是某个集合$\theta_0$$\Omega$

出现在区间端点的可能性。$\theta$

这三个共同保证在真实参数处的可能性最大化，然后求解方程$\theta_0$$\hat{\theta}$

$$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$$

是一致的。

条件 4：pdf的函数是二次可微的$f(x;\theta)$$\theta$

条件 5：积分可以在积分符号下作为$\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$$\theta$

我们需要最后两个来推导出在 mle 收敛理论中起核心作用的 Fisher 信息。

对于一些作者来说，这些就足够了，但如果我们要彻底，我们还需要一个最终条件来确保 mle 的渐近正态性。

条件 6：pdf的函数是可微分的三倍。此外，对于所有，存在一个常数和一个函数使得$f(x;\theta)$$\theta$$\theta \in \Omega$$c$$M(x)$

$$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$$

与对于所有和所有在$E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$$|\theta-\theta_0|<c$$x$$X$

的二阶泰勒展开的余数在概率上是有界的，因此渐近没有问题。$\theta_0$

你是这么想的吗？