峰度肯定不是峰值所在的位置。正如你所说，这已经被称为模式。

峰度是标准化的四阶矩：如果是我们正在查看的变量的标准化版本，那么总体峰度是该标准化变量的平均四次方；。样本峰度相应地与一组标准化样本值的平均四次方相关（在某些情况下，它按在大样本中变为 1 的因子进行缩放）。$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$E(Z^4)$

正如您所注意到的，在正态随机变量的情况下，这个第四个标准化矩是 3。正如 Alecos 在评论中指出的那样，有些人将峰度定义为；这有时被称为超峰态（它也是第四个累积量）。当看到“峰度”这个词时，您需要记住这种可能性，即不同的人使用同一个词来指代两个不同（但密切相关）的量。$E(Z^4)-3$

峰度通常被描述为峰度*（例如，峰的弯曲程度——这可能是选择“峰度”这个词的意图）或重尾度（通常人们有兴趣用它来测量），但在实际上，通常的第四个标准化时刻并不能完全衡量这些事情中的任何一个。

事实上，Kendall 和 Stuart 的第一卷给出了反例，表明较高的峰度不一定与较高的峰值（在标准化变量中）或较胖的尾巴相关（以类似的方式，第三矩并不能完全衡量很多人认为确实如此）。

然而，在许多情况下，两者都有一些相关的趋势，因为当峰度较高时，往往会出现更大的峰度和重尾度——我们应该简单地提防，认为情况必然如此。

峰度和偏度密切相关（峰度必须至少比偏度的平方大 1；当分布接近对称时，峰度的解释更容易一些。

Darlington (1970) 和 Moors (1986) 表明，峰度的四阶矩量度实际上是关于“肩膀”的可变性 -，而 Balanda 和 MacGillivray (1988) 建议用与以下相关的模糊术语来考虑它这种感觉（并考虑一些其他方法来衡量它）。如果分布紧密集中在附近，那么峰度（必然）很小，而如果分布远离 （这将倾向于同时堆积在中心和将概率移动到尾部以使其远离肩部），第四矩峰度将很大。$\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$$\mu\pm\sigma$

De Carlo (1997) 是阅读峰态的合理起点（在 Wikipedia 等更基本的资源之后）。

编辑：我偶尔会看到一些关于更高峰值（接近 0 的值）是否会影响峰度的问题。答案是肯定的，绝对可以。这种情况是因为它是标准化变量的四阶矩——要增加标准化变量的四阶矩，您必须在保持不变。这意味着进一步向尾部移动的概率必须伴随着一些进一步进入（内部）；反之亦然——如果在将方差保持在 1 的同时将更多的权重放在中心，你也会在尾部放一些。$E(Z^4)$$E(Z^2)$ $(-1,1)$

[注意，正如评论中所讨论的，这作为一般性陈述是不正确的；这里需要一个稍微不同的声明。]

这种保持不变的方差效应与Darlington 和 Moors 的论文中将峰度作为“肩部变化”的讨论直接相关。这个结果不是一些手摇概念，而是一个简单的数学等价——如果不歪曲峰度，就不能认为它是其他的。

现在可以在不提升峰值同样，可以增加外部的概率，而不必使远处的尾部更重（例如，通过一些典型的尾部索引）。也就是说，在使尾部更轻的同时提高峰度是很有可能的（例如，在均值两侧超过 2sds 的尾部更轻，比如说）。$(-1,1)$$(-1,1)$

[我在参考文献中包含 Kendall 和 Stuart 是因为他们对峰度的讨论也与这一点相关。]

那么我们能说什么呢？峰度通常与更高的峰和更重的尾部相关联，而不必发生枯萎。当然，通过使用尾部来提升峰度更容易（因为可能会超过 1 sd）然后调整中心以保持方差不变，但这并不意味着峰值没有影响；确实如此，而且人们可以通过专注于它来操纵峰度。峰度很大程度上但不仅与尾巴沉重有关——再一次，看看肩部结果的变化；如果有什么是峰态所关注的，在不可避免的数学意义上。

参考

Balanda, KP 和 MacGillivray, HL (1988)，
“峰度：批判性评论”。
美国统计学家 42 , 111-119。

Darlington, Richard B. (1970)，
“峰度真的是“峰值吗？”。
美国统计学家 24 , 19-22。

Moors, JJA (1986)，
“峰度的含义：重新审视达灵顿”。
美国统计学家 40 , 283-284。

DeCarlo, LT (1997)，
“关于峰态的含义和使用”。
心理学。方法， 2，292-307。

Kendall, MG 和 A. Stuart，
高级统计理论，
卷。1，第三版。
（最近的版本有 Stuart 和 Ord）

这是一个直接的可视化，以了解数字“3”对于正态分布的峰度指的是什么。

令服从正态分布，令。让。考虑的。这条曲线在零的右边，并延伸到无穷大，有 0.999 分位数 117.2，但大部分质量接近于零；例如，68% 小于 1.0。$X$$Z = (X-\mu)/\sigma$$V = Z^4$$V$$p_V(v)$

这种分布的平均值是峰态。理解平均值的一种常见方法是作为 pdf 图的“平衡点”。如果是正常的，则这条曲线 在 3.0 处平衡。$X$$p_V(v)$

这种表示还解释了为什么峰度测量分布尾部的重度。如果是非正态分布，则曲线在峰度大于 3.0 时“向右下降”，因此在这种情况下，的密度可以说是“比正态分布更重尾”。 " 类似地，当峰度小于 3.0 时，曲线的密度可以说是“比正态分布更轻尾”。 $X$$p_V(v)$$X$$p_V(v)$$X$

通常认为更高的峰度是指靠近中心的更多质量（即，在 pdf 中靠近 0 的质量更多）。虽然在许多情况下这是正确的，但在高峰度情况下，显然不是接近零的（可能增加的）质量导致图形“向右下降”。相反，它是尾部杠杆。$p_V(v)$

从这个角度来看，峰度的基本正确“尾重”解释可能更具体地描述为“尾杠杆”，以避免将“增加的尾重”与“增加的尾部质量”混淆。毕竟，较高的峰度可能对应于尾部的较少质量，但这种减少的质量占据更远的位置。

“给我一个站立的地方，我将移动地球。” -阿基米德