信息处理 - 所有 IIR 滤波器本质上都是不稳定的吗？ - 吾爱随笔录

所有 IIR 滤波器本质上都是不稳定的吗？

信息处理过滤器过滤器设计有限脉冲响应无限脉冲响应零极点

2022-02-20 19:06:00

我知道这个问题已经在这里被问过很多次了。但我在这里仍然不清楚:(

我的书说，

一个线性时不变系统是稳定的，如果它的脉冲响应是绝对可和的。（G.普罗基斯）

所以这应该意味着，对于一个稳定的系统，当 n 接近无穷大时，脉冲响应 h[n] 变为零，对吗？但那个滤波器是 FIR 滤波器。所以FIR 滤波器总是稳定的。

因此，对于不稳定的滤波器，脉冲响应不是绝对可累加的。另一方面，脉冲响应永远不会接近零。同样，对于 IIR 滤波器，h[h] 继续与 n 一起进行，即永远不会变为零。因此，IIR 滤波器应该是不稳定的。

但是从 Z 变换来看，IIR 滤波器有极点，而 FIR 滤波器没有，对吗？如果极点在单位圆内，即如果它们的值低于 1，则该滤波器是稳定的。

那么，这里发生了什么？如果 IIR 滤波器的脉冲响应不是绝对可累加的，那么当它们的极点在单位圆内时，它们为什么是稳定的？他们的冲动反应永远持续下去，对吧？他们的输出得到反馈。那么为什么它们可以根据极点的位置或价值保持稳定呢？

提前致谢：）

2个回答

请注意，对于稳定的 IIR 滤波器，脉冲响应确实接近零，因为 $n$ 走向无穷大。它永远不会完全为零。然而，绝对值之和是有限的。举个例子，以指数脉冲响应为例

\begin{matrix} (1) & H [n] = {一种}^{n} 你 [n], | 一种 | < 1 \end{matrix}

$h[n]=a^nu[n],\qquad |a|<1\tag{1}$

在哪里 $u[n]$ 是单位阶跃函数。总和

\begin{matrix} (2) & \sum_{n = - \infty}^{\infty} | H [n] | = \sum_{n = 0}^{\infty} | 一种 |^{n} = \frac{1}{1 - | 一种 |} \end{matrix}

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|=\sum_{n=0}^{\infty}|a|^n=\frac{1}{1-|a|}\tag{2}$

显然是有限的（对于 $|a|<1$ ）。

我同意 Hilmar 的回答，但我想补充一点，他所说的关于极点的一切仅对因果过滤器有效。在一般情况下，稳定的滤波器不需要所有极点都在单位圆内。为了稳定性，单位圆位于滤波器的收敛区域 (ROC) 内是必要且充分的 $\mathcal{Z}$ -变换（传递函数）。因此，一个稳定的滤波器可以在单位圆内部和外部都有极点，但在这种情况下，它不可能是因果关系。因此，只有因果关系的附加要求才会迫使稳定 IIR 滤波器的极点位于单位圆内。

FIR 滤波器也有类似的情况。因果 FIR 滤波器的所有极点确实位于原点，但非因果 FIR 滤波器的极点也位于无穷远处。一个简单的例子是这个非因果移动平均滤波器

\begin{matrix} (3) & H (z) = \frac{1}{5} (z^{- 2} + z^{- 1} + 1 + z + z^{2}) \end{matrix}

$H(z)=\frac15\left(z^{-2}+z^{-1}+1+z+z^2\right)\tag{3}$

有极点 $z=0$ 以及两极 $z=\infty$ ，但作为 FIR 滤波器，它显然是稳定的。

当极点在单位圆内时，IIR 滤波器是稳定的。脉冲响应在时间上是无限的这一事实并不意味着它不是绝对可累加的。

考虑一个简单的过滤器，例如 $y[n]= x[n] + \frac{1}{2} \cdot y[n-1]$ . 脉冲响应为 1, 0.5, 0.25 ...，即 $h[n] = 2^{-n}$ . 脉冲响应的绝对和只是 2，即使它是一个无限级数，它也有一个有限的绝对和。

FIR 滤波器也有极点，都在 z = 0 处。极点很好，只要它们在单位圆内。

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