您需要小心定义信号的 DC 值。实际时间平均值，通常称为DC 值，由下式给出

$$\overline{s(t)}=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}s(t)dt\tag{1}$$

而信号的傅里叶变换值在$\omega=0$是（谁）给的

$$S(0)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)dt\tag{2}$$

如果$(2)$是有限的，$(1)$等于零，如果$(1)$是有限的但非零，$(2)$不存在，傅里叶变换$S(\omega)$有狄拉克冲动$\omega=0$. 另请参阅此相关答案。

对于给定的信号$s(t)=1/t$两个积分$(1)$和$(2)$不要在传统意义上收敛。然而，正如 Robert Bristow-Johnson 在评论中提到的，它们的Cauchy 主值存在并且等于 0。因此，直流值$s(t)=1/t$等于零，无论您是否定义它$(1)$或通过$(2)$.

注意傅里叶变换$s(t)=1/t$等于

$$S(\omega)=-j\pi\,\textrm{sgn}(\omega)\tag{3}$$

这只是希尔伯特变压器的频率响应（按比例缩放$\pi$）。

从$(3)$,$S(0)$不存在，但左侧和右侧极限的平均值$\frac12 (S(0^-)+S(0^+))$等于零，并且 - 根据希尔伯特变换的定义使用柯西主值- 常数的希尔伯特变换确实为零。

尝试将积分分成两部分

$$\int_{-\infty}^{0} f(t) dt + \int_{0}^{\infty} f(t) dt$$

请注意，对于奇函数，积分相互抵消。

编辑：

如前所述，不是一个严格的解决方案，但它满足直觉

马特的回答应该被接受。

我不会删除这个答案，因为有时“错误”的答案是有启发性的。