是的，我相信你对能量压缩的理解是正确的。

这是否意味着，对于任何 x，如果 A 是 DCT 矩阵，则与 x 相比，y 的能量将更加集中。

不，不是的。证明不是这种情况所需要的只是证明存在一个没有被 DCT 压缩例如，白噪声不会被 DCT 压缩。DCT 很有用，因为在许多现实生活情况下，“信号”（例如音频、图像、视频等）往往是“粉红色的”，即它们的大部分能量往往在较低的频率上，因此有一个自然的不对称性可以为我们所用。$x$

另一种看待这个问题的方法是从信息论的角度来看。如果一个信号不是“白色”的（即它在所有频率上都没有相同的功率），这意味着在时域中的样本之间存在一些相关性，这意味着样本具有关于其他值的“信息”样品。这种互信息意味着存在冗余，因此应该能够在不丢失信息的情况下减少数据量。

这是否发生在每个 x 或 x 必须满足某些属性才能获得这种能量压缩？

对于像 DCT 这样的基于频率的变换，从上面可以清楚地看出，信号需要是非白色的。它越是非白色，就越能实现压实。

不过，还有其他类型的变换，大概可以根据其他特征压缩信号。这几乎就是压缩感知的全部意义所在。

能量压缩意味着总信号能量的很大一部分包含在少数几个系数中。可以定义几个指标来评估这一点：

• 占总能量给定百分比（例如 95%）的系数数量。
• 能量低于总能量给定百分比的系数的数量。
• 分布峰值的任何统计测量 - 将系数视为来自随机分布的样本。

这是否意味着，对于任何 x，如果 A 是 DCT 矩阵，则与 x 相比，y 的能量将更加集中。这是否发生在每个 x 或 x 必须满足某些属性才能获得这种能量压缩？

此属性显然不适用于任何$x$. 否则，可以在其结果上迭代地应用变换，直到数据最终集中在单个系数中。

虽然这听起来可能是同义反复，但可以说 DCT 对由少量正弦元素组合而成的信号具有良好的能量压缩特性；更一般地，关于能量分布不平衡的信号。这恰好是对语音、音乐和“自然”图像的良好描述。语音或音乐声音主要由少量正弦谐波组成，高频能量较少。图像包含大的均匀区域（考虑$N \times N$像素正方形有$N^2$内部像素，只有$4N$边缘像素）。

但是 DCT 会对具有大量突变的信号或任何类似噪声的信号提供非常差的能量压缩。特别是，如果一个 DCT 系数序列具有良好的能量压缩，它将有突然的转变（一个高系数被小值包围），并且在这个序列本身上应用 DCT 将产生一个能量压缩较差的序列。没有免费的午餐，在变换的结果上反复应用变换会让你一事无成......