LTI 系统的“频率响应”告诉您系统如何作用于正弦输入的幅度和相位。如果频率响应为，则输入产生输出。通常将频率响应一分为二，增益和相位。$H(f)$$x(t)=e^{j2\pi f_0t}$$y(t)=|H(f_0)|e^{j(2\pi f_0t+\angle H(f_0))}$ $|H(f)|$ $\angle H(f)$

同一系统的“传递函数”定义如下：如果一个输入$x(t)$产生输出$y(t)$，则系统的传递函数为$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$， 在哪里$X(s)$和$Y(s)$是拉普拉斯变换$x(t)$和$y(t)$.

当传递函数在$s=j\omega$，也称为系统的频率响应。请注意，传递函数比频率响应更通用，并且可以更深入地了解系统的行为，例如关于瞬态响应或稳定性。

这些定义也可以扩展到非线性系统，但这超出了我的经验。

离散时间线性时不变 (LTI) 系统由其脉冲响应定义，它可以表示为出现在整数时间索引的列表。为了形成其输出，系统所能做的就是将其输入的时移和常数倍增副本相加。一类重要的输入函数是复指数，例如：$c_n$$t_n$$y[k]$$x[k]$

如果输入是复指数： 其中和是复数常数，是整数时间索引，则求和的输出等于输入乘以常数 : 换句话说，复指数是 LTI 系统的特征函数。常数称为传递函数。它是复指数如果= 1，则底的形式为：

$$x[k] = az^k,$$ $a$$z$$k$$H(z)$ $$y[k] = \sum_n c_n x[k-t_n] = \sum_n c_n a z^{k-t_n} = \left(\sum_n c_n z^{-t_n} \right)a z^k = H(z)\,x[k].$$ $H(z)$$z$$|z|$ $$z = e^{i\omega} = \cos(\omega) + i \sin(\omega),$$ 其中是虚数单位，系统的输入是实频的复正弦曲线（幅值和相位嵌入在常数中）： 与其他复指数相比，复正弦曲线不会随时间衰减或增加幅度. 频率处的频率响应只是常数，系统乘以频率的复正弦输入。$i$$\omega$$a$ $$x[k] = a (e^{i\omega})^k = a e^{i\omega k} = a\left(\cos(\omega k) + i \sin(\omega k)\right)$$ $\omega$$H(e^{i\omega})$$\omega$

通过傅里叶逆变换，可以从频率响应到脉冲响应，从脉冲响应可以得到如上所示的传递函数。因此，离散时间 LTI 系统的传递函数完全由其频率响应定义。