想想现实世界中一个简单的机械系统，如弹性杆或连接到弹簧上的块以抵抗重力。每当你给系统一个脉冲（给块或给条），它们就会开始振荡，很快它们就会停止移动。
您可以通过多种方式分析这样的系统。最常见的两种方式是：
完全解=齐次解+特解
完全响应 = 自然响应（零输入）+ 强制响应（零状态）
由于系统是相同的，因此两者都应该产生代表相同行为的相同最终方程。但是您可以将它们分开以更好地理解每个部分的物理含义（特别是第二种方法）。
在第一种方法中，您更多地从 LTI 系统或数学方程（微分方程）的角度思考，您可以在其中找到其齐次解，然后找到其特解。齐次解决方案可以被视为您的系统对该输入（加上其初始条件）的瞬态响应，并且特定解决方案可以被视为您的系统在该输入之后/之后的永久状态。
第二种方法更直观：自然响应意味着系统对其初始条件的响应是什么。强制响应是系统对给定输入的响应，但没有初始条件。考虑到我给出的那个条形或块状示例，您可以想象在某个时候您用手推动了条形并且将其握在了那里。这可以是您的初始状态。如果你放手，它会振荡然后停止。这是您的系统对这种情况的自然反应。
您也可以放手，但仍然可以通过反复击打它来继续为系统提供一些额外的能量。系统会像以前一样有自然的反应，但也会因为你的额外命中而表现出一些额外的行为。当您通过第二种方法找到您的系统完全响应时，您可以清楚地看到由于这些初始条件而导致的系统自然行为以及只有输入（没有初始条件）的系统响应是什么。它们一起将代表系统的所有行为。
请注意，零状态响应（强制响应）也可能由“自然”部分和“特定”部分组成。那是因为即使没有初始条件，如果你给系统一个输入，它就会有一个瞬态响应+永久状态响应。
示例响应：假设您的方程式代表以下电路：
您的输出 y(t) 是电路电流。并想象您的电源是+48v 的直流电源。这样，在这个闭合路径中对元件的电压求和，你会得到：
\$\epsilon=V_L+V_R\$
我们可以用电流来改写电感电压和电阻电压：
\$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri\$
如果我们有一个 +48VDC 的电源并且 L = 10H 和 R = 24Ohms，那么：
\$48=10\frac{di}{dt}+24i\$
这正是您使用的方程式。因此，显然您对系统的输入（RL 电路）只是您的 +48v 电源。所以你的输入= 48。
您拥有的初始条件是 y(0) = 5 和 y'(0) = 0。从物理上讲，它表示在 = 0 时刻，我的电路电流为 5A，但它没有变化。您可能会认为电路中之前发生了一些事情，在电感器中留下了 5A 的电流。所以在那个给定的时刻（初始时刻）它仍然有那些 5A（y（0）=5）但它没有增加或减少（y'（0）=0）。
解决它：
我们首先假设以下格式的自然响应：\$Ae^{st}\$
然后我们会发现由于其初始条件而导致的系统行为，就像我们没有电源（\$\epsilon=0\$），这是零输入响应：
\$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0\$
\$Ae^{st}(10s + 24)=0\$
\$s=-2.4\$
所以，
\$i_{ZI}(t)=Ae^{-2.4t}\$
因为我们知道 i(0) = 5：
\$i(0)=5=Ae^{-2.4(0)}\$
\$A=5\$
\$i_{ZI}(t)=5e^{-2.4t}\$
请注意，到目前为止，一切都是一致的。最后一个方程表示没有输入的系统响应。如果我把 t=0，我发现 i=5 对应于初始条件。如果我输入\$t=+\infty\$我会发现 i=0 如果我没有任何来源，这也是有道理的。
现在我们可以找到方程的特定解，该方程将表示由于电源存在（输入）而导致的永久状态：
我们现在假设\$i(t)=c\$其中\$c\$是一个常数值，它表示系统输出处于永久状态，因为输入也是一个常数。对于每个系统，输出格式取决于输入格式：如果输入是正弦信号，则输出也将是。在这种情况下，我们只有常数值，这使事情变得更容易。
所以，
\$\frac{di}{dt}=0\$
然后，
\$48 = 10\cdot0 + 24c\$（使用微分方程）
\$c=2\$
\$i(\infty)=2\$
这也是有道理的，因为我们有一个直流电源。因此，在打开直流电源的瞬态响应之后，电感器将表现为一根导线，我们将拥有一个 R=24Ohms 的电阻电路。然后我们应该有 2A 的电流，因为电源上有 48V。
但请注意，如果我只是将两个结果相加以找到完整的响应，我们将拥有：
\$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t}\$
现在我在瞬态中搞砸了，因为如果我输入\$t=0\$我们将不再像以前那样找到\$i=5\$。我们必须在\$t=0\ $时找到\$i=5\$ ，因为它是给定的初始条件。这是因为零状态响应具有一个不存在的自然术语，并且具有与我们之前发现的相同的格式。在那里添加它：
\$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t} + Be^{st}\$
时间常数是相同的，所以它只剩下我们 B：
\$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t} + Be^{-2.4t}\$
我们知道：
\$i(t) = 2 + 5 + B = 5\$ (t=0)
所以，
\$B=-2\$
然后，您的完整解决方案是：
\$i(t) = 2 + 5e^{-2.4t} - 2e^{-2.4t}\$
您可能会将我们发现的最后一项视为与初始条件匹配的强制响应的校正项。找到它的另一种方法是想象相同的系统，但没有初始条件。然后再次解决，我们将有：
\$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2.4t}\$
但由于我们现在不考虑初始条件 (i(0)=0)，那么：
\$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2.4t} = 0\$
当 t=0 时：
\$A=-2\$
所以你的系统的强制（零状态）响应是：
\$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2.4t}\$
这有点令人困惑，但现在您可以从不同的角度看待事物。
-均质/特殊解决方案：
\$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2.4t}\$
第一项 (2) 是特解，代表永久状态。右侧的其余部分是瞬态响应，也称为方程的齐次解。有些书也称这为自然响应和强制响应，因为第一部分是强制部分（由于电源），第二部分是瞬态或自然部分（系统特性）。这是我认为找到完整响应的最快方法，因为您只需找到一次永久状态和自然响应。但可能不清楚什么代表什么。
- 零输入/零状态：
\$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2.4t} + 5e^{-2.4t}\$
请注意，这是相同的等式，但第二项分为两部分。现在，前两项（\$2 - 2e^{-2.4t}\$）代表零状态响应。换句话说，如果没有初始电流并且您打开 +48V 电源，系统会发生什么情况。
第二部分（\$5e^{-2.4t}\$）表示零输入响应。它向您展示如果没有输入（电源保持在 0v），系统会发生什么。它只是一个指数项，因为它没有输入，所以它会变为零。
有些人也称这种自然/强制响应格式。自然部分是零输入，强制部分是零状态，顺便说一下，它由自然项和特定项组成。
同样，它们都会给你相同的结果，代表整个情况行为，包括电源和初始条件。请注意，在某些情况下，使用第二种方法可能很有用。一个很好的例子是当您使用卷积时，您可能会发现零状态系统的脉冲响应。因此，打破这些术语可能会帮助您清楚地看到事物，并使用适当的术语进行卷积。