这并不是真正的不连续性。在一个圆上，确定了两个点和：它们是同一个点。对于整数的所有和都是如此。$-\pi$$+\pi$$x$$x+n 2\pi$$n$

如果您想保持明显的连续性，您可能需要切换到角度的相量表示。这些是单位圆上的复数，它们在乘法下形成一个群。它们很好地吸收了相位角的非明显拓扑。$\exp(i\phi)$

复杂分析的角度计算由atan2. 它被称为“四象限反正切”，复数的相位z很简单atan2(imag(z),real(z))。

它是不同的形式atan，因为它检查实部和虚部的符号以正确分离位于相反四分之一处的范围是。更清楚地，当给定在 Q1 和 Q2 之间并且在之间时，它在范围内，当在 Q3 和 Q4 中时。$\tan$atan2$[-\pi, \pi]$$[0,+\pi]$z$[-\pi,0]$z

当您在（对于时，您处于第二季度。因此，给你。但是，一旦您通过 Q2 并在进行评估，它就在 Q3 中，结果是。这就是为什么会有突然的变化。$e^{j0.1n}$$n=10\pi-\epsilon$$\epsilon>0$atan2$+\pi$atan2$n=10\pi+\epsilon$$-\pi$

@Jazzmaniac 的补充。

不连续性仅因您的解释而变得明显：您在平面上绘制了一个角度，$y$-axis（有间隔的那个$[-4,4]$) 取实际值。更合理的表示（在 2D 中不容易）将考虑到$2\pi$周期性，并在圆柱体上绘制相位，其轴为$x$-轴。

想象一下，您在图表中切割了一条水平条纹$y=\pi$和$y=-\pi$. 然后你把它折叠成一个水平的圆柱体，贴上一些透明胶带，这样边框就可以了$y=\pi$和$y=-\pi$加入。如果你这样做，你会看到坐标的顶角$(10\pi-,\pi-)$（这$-$表示稍微向左取的值）变得接近（在圆柱体表面上）坐标处的底角$(10\pi+,-\pi+)$（这$+$表示稍微向右取的值）。

这是因为角度的自然拓扑是一维圆环：

在底部正方形上，自然拓扑告诉您称为 B 的两侧距离较远。但是如果你折叠和粘合（右上角的圆柱体），两个所谓的 B 面在圆环几何形状中变得无法区分。A 面也是如此，在左上角为您提供圆环。

因此，如果您选择细分$[-\pi,\pi]$显然是主要论点所在$-\pi$和$\pi$在现实中很远（$\mathbb{R}$) 拓扑。但是在自然角度拓扑中，您​​弯曲线段$[-\pi,\pi]$围成一圈，然后$-\pi$和$\pi$变得难以区分。所以，$-\pi+0.001$非常接近$\pi-0.001$.