“非中心”与离散傅里叶变换相同

当频率归一化为采样率（表示奈奎斯特频率）。它假设所有的都是非负时间值。“ ”是以采样周期为单位的“时间”。 表示的时间。$f = \frac{k}{N}$$f=\tfrac12$$x[n]$$n \ge 0$$n=0$$t=0$

“居中”与具有线性相移因子的 DFT 相同

当并假设是正负时间的实例。 表示的时间。如果是奇数，那么“时间原点”正是样本在处的时间。但如果是偶数，则时间原点（当时）位于相邻样本和之间。如果您使用 DFT 来计算“中心”傅立叶变换，您可能希望通过将 DFT 结果与$f = \frac{k}{N}$$x[n]$$n=\frac{N-1}{2}$$t=0$$N$$x[\tfrac{N-1}{2}]$$N$$t=0$$x[\tfrac{N}{2}-1]$$x[\tfrac{N}{2}]$$X[k]$$e^{-i \pi (N-1) f}$或。这会将时间原点（当时）放在的位置。$e^{-i \pi (N-1) k/N}$$t=0$$n=\frac{N-1}{2}$

“居中”DFT 类似于（但不完全相同）将 fftshift 与 FFT 结合使用。两者都将 DFT 结果的相位 0 参考移动到 x[ ] 向量的中间，如果 x 在孔径中不是完全整数周期或者在开始和结束之间是循环不连续的，这将更有意义。然后，“居中”DFT 将 x 更清晰地分解为偶数（实数或余弦）和奇数（虚部或具有正一阶导数的正弦）函数，以向量的中心为参考。居中的 FFT 还有助于将相位参考移动到（非矩形）窗口数据的明显非零部分。

附件是一篇详细介绍“Centered DFT”的论文：https ://pdfs.semanticscholar.org/136b/befcbe094951d4c41ccb32b706d1348ca2c4.pdf

起初让我感到困惑的是，这篇论文详细介绍了频域的变化，而 OP 的公式显然是在频率上添加了一个线性相位，这是一个时间上的变化。Hotpaw2 和 Robert 的解释消除了我的困惑以及在时域中进行这种转变的额外动机。（并且它可以在任一域中完成，但这只是 OP 显示的时域版本）。我将此回复与论文的链接一起留下，以防其他人遇到它并需要类似的澄清。