在我问这个问题之前：我来自机械背景，希望能得到详细的回答。
一般来说，对于汽车，我试图了解以下内容：
假设的测量数据可能包含很宽的频率范围，我们通过它拟合阶多项式曲线。这样做会过滤掉某些本来会出现的频率。正如我想象的那样，它的作用就像一个低通滤波器。
问题：
假设我们有一个输入为的线性系统。令为输入频率。该线性系统将产生具有相同频率。我们通过这些测量拟合了一个阶多项式。这种曲线拟合充当低通滤波器。这种低通滤波器的特点是什么？
我的问题和讨论的背景：
我的看法是：测量数据是。通过它拟合抛物线可以近似为正弦曲线的一半。类似地，阶曲线将是完整的正弦曲线，依此类推。因此，对于阶多项式，截止频率将为。类似地，3等等。这有道理吗？有人可以给我推荐一些涉及这方面的书吗？
一般来说，我不会将多项式称为信号的低通近似。实际上，傅里叶变换的标准定义本身就不允许上的多项式具有有用的谱。一般来说，多项式（常数除外）以快速的速度趋于无穷大，因此不能真正限制频率。
所以很难说多项式过滤掉了某些频率。但是，在局部，在一个区间内，它们可以很好地通过数据点，因此它们可以在某种程度上平滑数据。典型的例子是传感器趋势或漂移，当它们是单调的时，以及峰值或颠簸。
您可以找到很多关于多项式趋势过滤或多项式峰值过滤器的作品。当这些拟合的成本函数是平方误差时，您最终会在多项式系数中得到一个线性系统，它会变成信号样本的加权平均值，可以解释为线性滤波器的系数。一个著名的例子是 Savitsky-Golay 滤波器，R. Shafer 最近在 2011 年对其频率进行了分析：什么是 Savitzky-Golay 滤波器？. 这一系列滤波器也很有趣，因为它们提供了平滑的导数。
但是您也可以使用其他损失函数拟合多项式，例如 -norm，或者使用额外的惩罚。它们目前是信号处理领域的活跃话题（我正在对 Savitsky-Golay 滤波器进行一些扩展）。以下是一些参考资料，从以下开始：
假设的测量数据可能包含很宽的频率范围，我们通过它拟合阶多项式曲线。这样做会过滤掉某些本来会出现的频率。正如我可以想象的那样，它就像一个低通滤波器。
是的。和不。
我想您指的是非常、非常、非常低阶（相对于数据集的长度）的多项式。由于多项式拟合的工作方式，您很快就会发现自己在处理非常小或非常大的数字，并且数值不稳定性逐渐蔓延。44.1KHz 的一秒数据是 44100 个数据点。拟合 1024 阶多项式仅涵盖大约 2% 的原始数据点，并且仍需要将范围内的数字提高到 1024 次方。
此外，请注意，当您转移到下一个插值窗口时（新的一秒数据进入），您现在必须考虑约束。也就是说，插值的开始现在不能随意移动。曲线必须从最后一条开始，以确保连续性……否则，当波形在过渡处跳跃时，您会得到“咔哒”声。事实上，就多项式拟合而言，您肯定会得到点击，因为曲线将以最小二乘法规定的任何斜率偏离，以最大限度地减少误差，因为您无法知道未来，所以很难强制约束（即“无论如何，我希望曲线在具有特定斜率的直线段处结束”）。
通过它拟合抛物线可以近似为正弦曲线的一半
不。
其余的正弦曲线在哪里？你将如何处理“中间”的抛物线？也就是说，随着峰值滑出窗口，我们现在进入低谷。抛物线可以拟合正弦曲线的一部分，但不能替代它。
这种曲线拟合充当低通滤波器。这种低通滤波器的特点是什么？
问这个，就是问，我如何用另一个来表达一个？也就是说，我可以在多项式拟合和低通滤波之间找到一个等价的三角函数之和吗？答案是否定的，因为这两者的结构截然不同。
要考虑的另一件事是最小二乘的工作方式，因为即使数据不存在，最小二乘也会努力将抛物线拟合到数据中。那么，如果我的没有像抛物线一样弯曲呢？事实上，如果您的信号不包含随多项式函数的某种组合而变化的分量，则拟合将失败。一个典型的例子是脉冲函数。拍一个包含低音鼓（低频）和高帽（高频）的节拍，并尝试使用多项式拟合“剪切”高帽。不可能。多项式拟合将尝试理解所有内容，包括节拍之间的静默。多项式必须适合。最小二乘必须找到局部最小值。
这里的一个例外似乎是分段样条插值，它将波形分成多个部分并拟合更小的多项式，在它们之间有约束，但同样，它们的定义不允许在它们的样条表示和傅里叶变换之间轻松转换，您可以通过它然后可以“跳”到脉冲响应。也就是说，给定拟合分段样条的系数，您可以找到一种方法来导出有限脉冲响应滤波器的脉冲响应（更不用说无限脉冲响应滤波器了）。
您始终可以尝试获取大量数据样本，拟合平滑样条曲线，然后获得其傅里叶变换，以查看哪种低通滤波器可以近似样条曲线的结果，但这不是推导等效滤波器的方法。
希望这可以帮助。
这种方法对我来说似乎有点不寻常。
对我来说，曲线拟合不等同于低通滤波器。根据定义，结构良好的低通滤波器会抑制信号的高频分量，并允许低频分量（相对）不变地通过。多项式拟合的输出不会这样做。根据多项式的阶数，它确实抑制了高频分量，但它也会（在某些情况下，显着地）改变低频分量。因此，例如，虽然您可以对低通滤波器的输出进行傅里叶变换，但您不会对多项式拟合的输出执行此操作。
当您实际上并不关心各种频率分量的相对幅度，而是在寻找整体形状时，通常会进行多项式拟合。因此，您可以将它们用于插值，例如，或匹配预定义的模型。但我不认为我会像使用过滤器那样使用它们。
这是一个有趣的观点。
当您说要通过“系统”拟合 n 阶多项式时，我假设您正在谈论脉冲响应。因此，您正在使用多项式及时建模您的脉冲响应。
你不应该只找到多项式传递函数的谱吗？那不会给你模型的确切光谱吗？随着您降低多项式模型中的自由度，您将在模型中添加越来越高的阶项。这意味着您只需考虑傅立叶变换中的高阶多项式。我在这里想念什么？