我知道在连续时间和离散时间中理想的低通滤波器都有$\mathrm{sinc}$脉冲响应。理想的高通或带通滤波器的脉冲响应是什么样的（假设它是真实的）？我的直觉说这将是某种移位的叠加$\mathrm{sinc}$功能，但我不太确定。提前致谢。

编辑：这是我推导脉冲响应的尝试$h(t)$对于具有零相位特性的连续时间理想高通滤波器。

这种情况下的频率响应可以写为$H(\omega) = u(\omega - \omega_c) + u(-\omega -\omega_c)$在哪里$u$是单位阶跃函数，并且$\omega_c$是滤波器的截止频率。

使用傅里叶变换对：

$$u(t) \leftrightarrow \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)$$

我们可以利用对偶性来获得：

$$\frac{1}{jt} + \pi \delta(t) \leftrightarrow 2\pi u(-\omega)$$

这意味着（从线性）：

$$\frac{1}{j2\pi t} + \frac{1}{2} \delta(t) \leftrightarrow u(-\omega)$$

此外，我们从 delta 函数的时间反转属性和缩放属性中获得：

$$-\frac{1}{j2\pi t} + \frac{1}{2} \delta(t) \leftrightarrow u(\omega)$$

将傅里叶逆变换应用于：

$$H(\omega) = u(\omega - \omega_c) + u(-\omega -\omega_c) = u(\omega - \omega_c) + u(-(\omega +\omega_c))$$

并使用线性属性、频移属性和我上面写的两个傅里叶变换对，我们得到：

$$h(t) = e^{j\omega_c t} \{ -\frac{1}{j2\pi t} + \frac{1}{2} \delta(t) \} + e^{-j\omega_c t} \{ \frac{1}{j2\pi t} + \frac{1}{2} \delta(t) \}$$

而且我不知道从那里去哪里（具体来说，我不知道如何处理弹出的增量函数）。