信息处理 - 离散时间终值定理应用于反馈系统 - 吾爱随笔录 - 问答

离散时间终值定理应用于反馈系统

信息处理线性系统 z变换拉普拉斯变换回馈

2022-02-14 13:24:43

我希望计算输出的高通滤波器反馈到输入的系统的最终值。

一个简单的例子是：

$\Delta y_{t} = \Psi hp1(y_{t-1}) + \beta x_{t-1}$

其中 $hp1$ 是具有传递函数的一阶高通滤波器：

$hp1(z) = \frac{\phi (1 - z^{-1})}{1 - \phi z^{-1}}$

我期望y上面的例子中的一步有一个无限的最终值x，因为 $\beta x_{t-1}$ 一直在喂 $\Delta y$

但是，下面的工作给出了不同的答案：

hp1(z)仅根据其输入重写： $hp1(z) = \phi + (\phi - 1)\sum_{i=1}^{\infty} (\phi z^{-1} )^{i}$
添加 $y_{t-1}$ 到系统方程的两边： $y_t = y_{t-1} + \Psi \left \{ \phi y_{t-1} + (\phi - 1)\sum_{i=2}^{\infty}\phi ^i y_{ti} \right \}+\beta x_{t-1}$
写出系统的传递函数： $H(z) = \frac{\beta z^{-1}}{1-(1+\Psi \phi)z^{-1} - \Psi (\phi -1)\sum_{i=2} ^{\infty}\phi ^iz^{-i}}$
重写分母中的无穷和： $H(z) = \frac{\beta z^{-1}}{1-(1+\Psi \phi)z^{-1} - \Psi (\phi -1)\frac{\phi ^2z ^{-2}}{1-\phi z^{-1}}}$
将终值定理应用于该系统对 x 中的一个步骤的响应： $最终值 = lim z\mapsto1 \frac{z(1-z^{-1})}{(1-z^{-1})} \frac{\beta z^{-1}}{1-( 1+\Psi \phi)z^{-1} - \Psi (\phi -1)\frac{\phi ^2z^{-2}}{1-\phi z^{-1}}}$
取极限： $终值 = \frac{\beta }{\Psi \phi(\phi -1)}$

以上表明系统 $\Delta y_{t} = \Psi hp1(y_{t-1}) + \beta x_{t-1}$ 对 x 中的步长有一个明确定义的终值。但是，我认为情况并非如此。

我哪里错了？非常感谢帮助

1个回答

我会直接在变换域中推导出总传递函数。你的输入输出方程可以写成

\begin{matrix} (1) & Y (z) (1 - z^{- 1}) = α G (z) z^{- 1} Y (z) + β z^{- 1} X (z) \end{matrix}

$Y(z)\big(1-z^{-1}\big)=\alpha G(z)z^{-1}Y(z)+\beta z^{-1}X(z)\tag{1}$

其中是高通滤波器的传递函数。从你直接得到传递函数 $G(z)$ $(1)$

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{Y (z)}{X (z)} = \frac{β z^{- 1}}{1 - z^{- 1} (1 + α G (z))} \end{matrix}

$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\beta z^{-1}}{1-z^{-1}\big(1+\alpha G(z)\big)}\tag{2}$

处有一个极点，因为。 $z=1$ $G(1)=0$

计算中的错误出现在第 2 步。您将总和的下限从增加到的幂从更改为。在传递函数中，这会在分母的最后部分产生。分母应该是：

1

$1$

2

$2$

ϕ

$\phi$

i

$i$

i - 1

$i-1$

ϕ^{2}

$\phi^2$

ϕ

$\phi$

\begin{matrix} (3) & D (z) = 1 - (1 + Ψ ϕ) z^{- 1} - Ψ (ϕ - 1) \frac{ϕ z^{- 2}}{1 - ϕ z^{- 1}} \end{matrix}

$D(z)=1 - (1+\Psi\phi)z^{-1}-\Psi(\phi-1)\frac{\phi z^{-2}}{1-\phi z^{-1}}\tag{3}$

对于，计算结果为 $z=1$

\begin{matrix} (4) & D (1) = 1 - (1 + Ψ ϕ) - Ψ (ϕ - 1) \frac{ϕ}{1 - ϕ} = 1 - (1 + Ψ ϕ) + Ψ ϕ = 0 \end{matrix}

$D(1)=1 - (1+\Psi\phi)-\Psi(\phi-1)\frac{\phi }{1-\phi }=1 - (1+\Psi\phi)+\Psi\phi=0\tag{4}$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇显微镜图像中线检测的帮助或建议下一篇带通滤波后双面和单面AWGN噪声的区别？