正如我在Wikipedia中所读到的，有两种类型的拉普拉斯变换

• 单边拉普拉斯变换：$F(s) = \int_{0}^\infty e^{-st} f(t) dt$

• 双边拉普拉斯变换：$F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) dt$

但是他们只给出了一个拉普拉斯逆变换的公式：

$\hspace{3.0cm} f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s) ds$

我的问题是，我使用的拉普拉斯变换类型会影响逆公式吗？

ps：

我已经证明了上面的拉普拉斯逆变换对应于使用傅里叶变换的双边拉普拉斯变换。但是我还没有想出任何想法来证明与单面拉普拉斯变换相对应的拉普拉斯逆变换的正确性。

$f$满足$f(t) = 0$ $\forall t < 0$，则上面的逆变换对于单面变换是正确的。换句话说，

$\hspace{3.0cm} f(t) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s) ds$ ,$\forall t \geq 0$