信息处理 - 将信号的傅里叶变换转换为ωω形式？ - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换连续信号

2022-02-19 15:43:12

假设我们有这个信号：

x (t) = 5 \sin (2 π 1000 t) \cos (2 π 10000 t)

$x(t)=5 \sin(2\pi 1000 t) \cos(2\pi 10000 t)$

我计算了傅里叶变换如下：

X (f) = (j \frac{5}{4}) [δ (f - 9000) + δ (f + 11000) - δ (f - 11000) - δ (f + 9000)]

$X(f)=\left(j\frac{5}{4}\right)\left[\delta(f-9000)+\delta(f+11000)-\delta(f-11000)-\delta(f+9000)\right]$

然后我想将其转换为 $\omega$ 形式。我知道结果是

X (ω) = (j \frac{5}{2}) [δ (ω - 9000) + δ (ω + 11000) - δ (ω - 11000) - δ (ω + 9000)]

$X(\omega )=\left(j\frac{5}{2}\right)\left[\delta(\omega -9000)+\delta(\omega +11000)-\delta(\omega -11000)-\delta(\omega +9000)\right]$

我知道 $\omega=2\pi f T$ 在哪里 $T$ 是采样率。

我无法理解的是我们如何将信号的傅里叶变换转换为 $\omega$ 使用上面的公式形成。

1个回答

在您的示例中，不涉及采样，因此您只需 $\omega=2\pi f$ ，在哪里 $f$ 是以赫兹为单位的频率，并且 $\omega$ 是以弧度为单位的频率。

您的第一个结果 $X(f)$ 看起来正确。但是，您的结果为 $X(\omega)$ 是错的。您需要知道什么才能将带有狄拉克增量的表达式从 $f$ 到 $\omega$ 是以下关系：

\begin{matrix} (1) & δ (a f) = \frac{1}{| a |} δ (f) \end{matrix}

$\delta(af)=\frac{1}{|a|}\delta(f)\tag{1}$

和 $a=2\pi$ 和 $\omega=2\pi f$ 你从 $(1)$

\begin{matrix} (2) & 2 π δ (ω) = δ (f) \end{matrix}

$2\pi\delta(\omega)=\delta(f)\tag{2}$

你得到以下两个基本的傅里叶变换对应关系，这取决于你是否使用 $f$ 或者 $\omega=2\pi f$ 作为频域变量：

\begin{aligned} e^{j 2 π f_{0} t} & ⟷ δ (f - f_{0}) \\ e^{j ω_{0} t} & ⟷ 2 π δ (ω - ω_{0}) \end{aligned}

$\begin{align}e^{j2\pi f_0t}&\longleftrightarrow \delta(f-f_0)\\ e^{j\omega_0t}&\longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)\end{align}$

所以你的表达 $X(\omega)$ 错过了一个因素 $\pi$ ，并且狄拉克三角洲的参数中两个频率的和和差需要乘以 $2\pi$ ：

X (ω) = \frac{5 π j}{2} [δ (ω - 2 π 9000) - δ (ω + 2 π 9000) + δ (ω + 2 π 11000) - δ (ω - 2 π 11000)]

$X(\omega)=\frac{5\pi j}{2}[\delta(\omega-2\pi9000)-\delta(\omega+2\pi9000)+\delta(\omega+2\pi11000)-\delta(\omega-2\pi11000)]$

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