假设你有一个连续的正弦信号$x(t) = \cos(2\pi f_o t)$，现在我们通过让$t=nT=\frac{n}{f_s}$， 在哪里$f_s$是采样频率。这给$x[n]= \cos(2\pi f_o nT)$. 因为正弦曲线是周期性的$2\pi$我们可以写：

$$\cos(2\pi f_o nT) = \cos(2\pi f_o nT + mn2\pi T ),$$ 我们需要的地方$mnT$为整数。$n$始终是整数，并且$T$由我们的采样频率决定。因此这相当于要求$m=\frac{p}{T}$在哪里$p$是一个整数 - 换句话说$m$必须是采样频率的整数倍。鉴于这些条件，我们可以写： $$\cos(2\pi f_o NT + mn2\pi T ) = \cos(2\pi (f_o +m)nT ) = \cos(2\pi (f_1)nT ),$$ 在哪里$f_1= f_o+m$，但请记住$m$是采样频率的倍数。

因此，任何采样的正弦曲线都等效于另一个采样的正弦曲线，其频率是与原始频率相差整数倍的采样频率。请注意，上述公式可以等效地完成$\exp(j2\pi f_o t)$代替$\cos()$更笼统一点。

这是不完整的，但应该为您指明正确的方向。认为$k$是一个整数并且$f_s=1/T_s$是采样频率。被采样的信号是

$$\cos(2\pi f_0t).$$ 采样信号为$\cos(2\pi f_0kT_s)$. 该信号在频率上有混叠$f_1=(f_s/2-f_0)+f_s/2=f_s-f_0$. 为了证明它： $$\begin{align*} \cos(2\pi(f_s-f_0)kT_s) &= \cos(2\pi f_skT_s-2\pi f_0kT_s) \\ &= \cos(2\pi k - 2\pi f_0kTs)\\ &= \cos(2\pi f_0kT_s). \end{align*}$$ 可以对所有其他别名进行类似的论证。