信息处理 - 齐次差分方程解的证明 - 吾爱随笔录

假设输出 $y_h[n]$ 线性时不变系统的输入由以下等式描述 $x[n]=0$ ,

\sum_{k = 0}^{N} a_{k} y_{h} [n - k] = 0

$\sum_{k=0}^{N}a_k y_h[n-k] = 0$

我的书指出 $y_h[n]$ 实际上是以下形式的解决方案族的成员：

y_{h} [n] = \sum_{m = 1}^{N} A_{m} z_{m}^{n}

$y_h[n]=\sum_{m=1}^{N}A_mz_m^n$

其中复数 $z$ 是零点 $A(z)=\sum_{k=0}^Na_kz^{-k}$ .

有什么证明 $y_h$ 实际上是给定的形式吗？

一个简单的替换将导致：

\sum_{k = 0}^{N} (a_{k} \sum_{m = 1}^{N} A_{m} z_{m}^{n}) = 0

$\sum_{k=0}^N (a_k \sum_{m=1}^NA_mz_m^n) = 0$

但我没有看到证明展示一套 $\{z_1,z_2,...,z_N\}$ 和 $\{A_1, A_2,..., A_N\}$ 确实存在于所有 n。抱歉，如果这似乎是一个糟糕的问题。