信息处理 - 稳态响应的零状态和零输入响应 - 吾爱随笔录

信息处理离散信号

2022-01-28 23:46:07

让线性、时不变、因果离散线性系统由以下差分方程描述：

y [n] = 0.9 y [n - 1] + 0.1 x [n]

$y[n] = 0.9y[n-1] + 0.1x[n]$

假如说 $y[-1]=2$ 和 $x[n]=20\cos(\Omega n)u[n]$ , $\Omega = \omega T_s = 0.2\pi$ ，找到总响应，识别与零状态和零输入响应相关的项。

我发现系统的传递函数是：

H (z) = 0.1 \frac{z}{z - 0.9}

$H(z) = 0.1\frac{z}{z-0.9}$

并从中我确定了稳态响应的幅度和相位：

| H (e^{j Ω}) | = \frac{0.1}{\sqrt{1.81 - 1.8 \cos (Ω)}}

$|H \left(e^{j \Omega}\right)| = \frac{0.1}{\sqrt{1.81-1.8\cos(\Omega)}}$

∠ H (e^{j Ω}) = - \arctan [\frac{- \sin (Ω)}{1 - 0.9 \cos (Ω)}]

$\angle H \left(e^{j \Omega}\right) = -\arctan\left[\frac{-\sin(\Omega)}{1-0.9\cos(\Omega)} \right]$

因此系统的稳态响应为：

y_{s s} [n] = 20 \frac{0.1}{\sqrt{1.81 - 1.8 \cos (Ω)}} \cos (Ω n - \arctan [\frac{- \sin (Ω)}{1 - 0.9 \cos (Ω)}])

$y_{ss}[n] = 20 \frac{0.1}{\sqrt{1.81-1.8\cos(\Omega)}} \cos\left(\Omega n -\arctan\left[\frac{-\sin(\Omega)}{1-0.9\cos(\Omega)} \right] \right)$

∴ y_{s s} [n] = 3.363 \cos (0.2 π n + 1.138)

$\therefore \boxed{y_{ss}[n] = 3.363\cos(0.2\pi n + 1.138)}$

但是如何从稳态响应中找到总响应（零状态和零输入）？

1个回答

有些书喜欢不同的符号，但我会假设零状态响应是由于纯输入引起的 $x[n] = \cos(0.2 \pi n) u[n]$ 在系统零初始条件下，而零输入响应是一个 $x[n] = 0$ 初始状态为 $y[-1] = 2$ .

现在，首先是零输入（ $x[n] = 0$ ) 响应，纯粹是由于非零初始条件 ( $y[-1] = 2$ )，系统的可以通过因果系统的简单递归找到：

\begin{aligned} y [0] & = 0.9 \cdot 2 \\ y [1] & = {0.9}^{2} \cdot 2 \\ y [2] & = {0.9}^{3} \cdot 2 \\ . . . & = . . . \\ y [n] & = 2 \cdot {0.9}^{n + 1} u [n] \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= 0.9 \cdot 2 \\ y[1] &= 0.9^2 \cdot 2 \\ y[2] &= 0.9^3 \cdot 2 \\ ... &= ... \\ y[n] &= 2 \cdot 0.9^{n+1} u[n] \\ \end{align}$

这产生了零输入响应（对于 $n \geq 0$ ）作为

y_{z i} [n] = 2 \cdot (0.9)^{n + 1} u [n]

$\boxed{ y_{zi}[n] = 2 \cdot (0.9)^{n+1} u[n] }$

现在我们将找到零状态响应，假设初始条件为零。由于输入表单，这将很长 $x[n] = 20 \cos(0.2 \pi n) u[n]$ ，我们可以按照下面的方法。

让 $X(w)$ 是输入的傅里叶变换，并且 $H(w)$ 是上述微分方程描述的系统的频率响应，则输出 $y[n]$ 将具有由下式给出的傅里叶变换

Y (ω) = H (ω) X (ω) .

$Y(\omega) = H(\omega) X(\omega).$

现在

H (ω) = \frac{0.1}{1 - 0.9 e^{- j ω}}

$H(\omega) = \frac{0.1}{1- 0.9 e^{-j \omega} }$ 你必须找出什么

X (w)

$X(w)$ 是，然后将它们相乘以找出

Y (ω)

$Y(\omega)$ 并在简单的部分分数展开后执行傅里叶逆变换。将此解决方案表示为

y_{z s} [n]

$y_{zs}[n]$ ，那么你的整体解决方案是

y [n] = y_{z i} [n] + y_{z s} [n]

$y[n] = y_{zi}[n] + y_{zs}[n]$

现在，自己尝试一下，看看是否可以完成解决方案……然后编写一个 matlab 程序来检查您的结果。

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