只是添加到答案。用于重组 L/R 滤波器的符号交替出现，因此二阶为“-”，四阶为“+”，依此类推。

代数并不是那么令人愉快，所以我只会通过二阶。二阶 L/R 低通只是两个一阶巴特沃斯低通的级联。一阶巴特沃斯是 其中 x 是归一化截止频率

$$L = \frac{1}{1+jx}, H = \frac{jx}{1+jx}$$ $x = \omega/\omega_0$

这使得 L/R 滤波器的差异

$$H = L^2-H^2 = \frac{1^2}{(1+jx)^2} - \frac{(jx)^2}{(1+jx)^2} = \frac{1+x^2}{(1+jx)^2}$$

分子是实数，所以我们只需要证明分母的大小是相同的。

$$|(1+jx)^2| = |(1+jx)|^2 = (1+jx) \cdot (1-jx) = 1 + jx =ix + x^2 = 1+x^2$$

这确实等于分子。

另一类有趣的“重组到全通”是奇阶巴特沃斯滤波器。这里低通和高通的相位相差 90 度，因此滤波器的和和差都将创建一个全通，尽管一个具有比另一个显着更多的群延迟，并且符号的“最佳”选择也与命令。

奇数阶 Butterworth 在分频器处也只有 -3dB 的增益，而 L/R 有 -6dB。

我想在前面的答案中补充一点，二阶高通和二阶低通滤波器之间的区别通常不是全通滤波器。得到的传递函数

$$H(s)=\frac{s^2-\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}\tag{1}$$

处有两个零点和两个极点，它们要么是实值（对于，要么是复共轭对（）。$s_0=\pm\omega_0$$Q\le\frac12)$$Q>\frac12$

传递函数是全通滤波器的唯一情况是特殊情况，在这种情况下，在处有一个双极点。中存在一个零极点抵消，由此产生的传递函数变为一阶全通滤波器：$(1)$$Q=\frac12$$s_{\infty}=-\omega_0$$(1)$

$$\begin{align}H(s)&=\frac{s^2-\omega_0^2}{s^2+2\omega_0s+\omega_0^2}\\&=\frac{(s-\omega_0)(s+\omega_0)}{(s+\omega_0)^2}=\frac{s-\omega_0}{s+\omega_0}\tag{2}\end{align}$$

在所有其他情况下 ( )，二阶传递函数不是全通滤波器。$Q\neq\frac12$$(1)$

哦。事实证明这是非常明显的，我应该通过更仔细的阅读得到它。我会因为羞耻而删除它，但会分享更正，希望它可以避免其他人同样的头痛。LR2 高通和低通传递函数的控制方程是正确的，但其中一个信号需要反转才能成为全通滤波器。根据我的研究，这可以使用逆变器电路主动完成，也可以通过翻转驱动器上的极性来完成。两个 LR2 滤波器的正确“求和”是两者的差：

$H_{LP-HP}\left ( s \right )=\frac{\omega _{0}^{2}-s^{2}}{\omega _{0}^{2} + \frac{\omega _{0}}{Q}s + s^{2}}$

这实际上是一个全通滤波器。