找到特定频率下双二阶的相位响应很简单。回想一下双二阶的传递函数：

$$H(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1} + b_2z^{-2}}{a_0 + a_1z^{-1} + a_2z^{-2}}$$

系统的频率响应可以通过让$z = e^{j\omega}$， 在哪里$\omega$是范围内的归一化频率$[-\pi, \pi)$. 所以，它看起来像这样：

$$H(e^{j\omega}) = \frac{b_0 + b_1e^{-j\omega} + b_2e^{-j2\omega}}{a_0 + a_1e^{-j\omega} + a_2e^{-j2\omega}}$$

由于复杂的指数，值$H(e^{j\omega})$会很复杂。频率的相位响应$\omega$只是得到的复数的相位角。同一频率下的幅值响应同样等于数的幅值。

您可能需要的唯一其他细节是如何到达$\omega$：给定一个以采样率采样的信号$f_s$Hz，如果您想知道给定频率下的频率响应$f$Hz，您可以使用上面的等式，并让：

$$\omega = \frac{2 \pi f}{f_s}$$

您需要滤波器频率响应的参数。后者由

$$H(\omega)=\frac{b_0+b_1e^{-j\omega}+b_2e^{-2j\omega}}{a_0+a_1e^{-j\omega}+a_2e^{-2j\omega}}\tag{1}$$

这是一个复杂的函数，它的参数可以通过使用函数来计算atan2(y,x)，其中y的虚部是$H(\omega)$并且x是真正的部分$H(\omega)$.

如果您将 IIR 的传递函数分解为其极点和零点的位置，您可以以图形方式求解（甚至直观地检查少量极点/零点）相位响应。在复平面中绕单位圆走，并将所有传递函数极点和零点的角度加/减到单位圆上的任何点，以获得该点表示的频率处的相位响应。