根据上下文，使用复数形式可能是为了数学上的方便，也可能是为了避免对实部和虚部的需要。

当你考虑表达式时，你得到

$$u(t) = e^{{\eta}t^2}e^{j{\beta}t^2}$$

其中第一个指数是通用幅度包络，在这种情况下是高斯。第二个指数是啁啾本身，是所有动作的所在。

所以为了简化事情，让我们假设包络是理想的，因此信号只是啁啾

$$u(t) = e^{j{\beta}t^2}$$

要查看啁啾声，你可以取实部或虚部，它看起来像这样

在不使用 I/Q 的系统中，实部是您希望作为波形传输的部分。系统类型将决定使用真实信号还是某种类型的 I/Q 是最好的。我将在这里使用雷达示例。

在调频连续波 (FMCW) 雷达中，传输像上述那样的真实啁啾，其形式为

$$x(t) = cos({{\beta}t^2})$$

这只是复杂形式的真实部分。它在延迟后被接收并与自身混合，并且不进入混合过程，产生可用于确定范围的单频正弦波。在这里，只使用实部是实用的。在 FMCW 中使用 I/Q 也是有益的（提高 SNR），但通常不是必需的，许多系统不使用它。

另一种类型的雷达，脉冲多普勒，从使用复杂的形式中受益匪浅。考虑相同的啁啾，除了现在使用虚构版本。这很重要，因为脉冲多普勒雷达通常在执行脉冲压缩时运行，这只是将发射波形与接收波形相关联。

复杂啁啾的自相关看起来像

使用复杂的波形使我们能够将信号混合到基带，从而提供我们期望的经典自相关响应，而无需额外的混合和滤波。

$i$是$\sqrt{-1}$

有一个非常重要的公式叫做欧拉方程。

$$e^{i\theta}=\cos(\theta) + i \sin(\theta) = (e^i)^\theta$$

“ ”是单位圆上沿圆周一弧度的点。单位圆上的任何点乘以幂，都将停留在单位圆上，其沿圆周的距离将乘以幂。$e^i$

$$(e^{i\theta})^p=e^{ip \theta }$$

简单地考虑它。

$$u(t) = e^{\left(\eta t^2\right)} \cdot \left(e^i\right)^{\beta t^2}$$

第一个因素是您的真实高斯（钟形曲线）充当包络线。

第二个因素是围绕复单位圆旋转的点。以稳定的速度，你会得到一个稳定的音调。这个速度不是稳定的，而是线性增加的频率之一（绝对远离中心）。

您的信号/功能很复杂。

$$\begin{aligned} u(t) &= e^{\left(\eta t^2\right)} \cdot \left[ \cos\left(\beta t^2\right) + i \sin\left(\beta t^2\right)\right]\\ &= e^{\left(\eta t^2\right)} \cdot \left[ \cos\left([\beta t] t\right) + i \sin\left([\beta t]t\right)\right]\\ &= \left[ e^{\left(\eta t^2\right)} \cdot \cos\left([\beta t] t\right) \right] + i \left[ e^{\left(\eta t^2\right)} \sin\left([\beta t]t\right)\right]\\ \end{aligned}$$