让$v_3 = \left[\begin{array}{vector} a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]$， 然后$<v_0, v_3>=0, <v_1, v_3>=0, <v_2, v_3>=0, <v_3, v_3>=1$, 减少到

a+b=0 
a+c=0
a-d=0

和$a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$

所以有很多解决方案，一个例子可以是

$\left[\begin{array}{arr} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end {array} \right]$

先看了叶一诚的回复

$$\begin{align} a + b + c + d &= 0\tag{1}\\ a + b - c - d &= 0\tag{2}\\ a - b + c - d &= 0\tag{3}\\ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 &= 0\tag{4} \end{align}$$

从 (2)

$$a+b = c+d$$ ,

使用 (1)

$$2(c+d) = 0 => c+d=0, a+b=0$$ ,

从 (3)

$$a+c = b+d$$ 使用 (1) $$2(b+d) = 0 => b+d = 0, a+c = 0$$

如果$b+d = 0$和$c+d = 0 => b=c => d = -c, a = -c$

$$\begin{align} (a+b)^2 + (c+d)^2 &= 0\\ &= a^2 + b^2 + 2ab + c^2 + d^2 + 2cd \end{align}$$

使用 (4) 所以$0 = 1 + 2(ab + dc) = 1 + 2((-c)c + c(-c))$

=>$1/4 = c^2$

=>$c=1/2$或者$c=-1/2$所有其他变量都取决于$c$

所以我们有两个方程组的解。

一种通用的方法：首先要检查的是你的三个向量是否是线性独立的。它们是，因此它们跨越 3D 空间。因此，精心挑选的第四个可以将它们补充到一个四维基础中。将有无限的选择：任何不在 3D 空间中的向量都可以完成这项工作。

实际上，前三个向量是正交的，单位范数为$\sum_1^4 \left(\pm \frac{1}{2}\right)^2 = 1$. 因此，它们是成对正交的。如上，他们定义了一个维度的子空间$3$. 它的正交补充是一维向量空间，由一个非零向量唯一定义，可以由任何非零标量缩放。

因此，如果您只想要正交性，那么您有无限的选择。但在某些情况下，人们使用正交作为正交的代理。确实，你的三个向量$v_0$,$v_1$,$v_2$ 也是单位范数。

所以在这种情况下，只有两个向量$v_3$单位规范回答您的问题：

$$\left[\begin{array}{arr} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\end {array} \right]$$

和它的相反：

$$\left[\begin{array}{arr} -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\end {array} \right]\,.$$

如你看到的，$v_0$没有迹象变化，$v_1$有一个，三个用于$v_2$. 和$v_3$有两个符号变化。你刚刚重新发现，在某种程度上，$4$维Hadamard（或 Walsh，或 Paley）正交基：

$$H_4=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{array}\right]$$

您可以在以下位置找到有关它们的更多信息：

• 我们如何在图像特征提取中使用 Hadamard 变换？
• 什么是 Walsh-Hadamard 变换，它有什么用？

在 4D 中，您可以使用广义叉积来计算与一组其他三个线性独立向量正交的向量。其他向量不需要正交才能使此方法起作用。矢量的长度是三个矢量形成的平行六面体的体积。

计算该矩阵的行列式，其中第一行由单位向量组成。

$$\left| \begin{array}{cccc} \vec i & \vec j & \vec k & \vec l \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \end{array} \right|$$ 在您的示例中，这可能比其他一些答案更难计算，但仍然很高兴知道。

赛德