信息处理 - FFT 单面和 Parseval 定理 - 吾爱随笔录

FFT 单面和 Parseval 定理

信息处理傅里叶变换解析

2022-02-21 11:29:20

我试图让 Parseval 定理在单边 FFT 上工作。到目前为止，我有这个代码（matlab）：

%% ODD
a = [1 2 3 4 5];
A = fft(a);
A1 = abs(A);
A2 = abs([A(1) 2*A(2:3)]); 

Ea=sum(a.^2)
EA1=sum(A1.^2)/5
EA2=sum(A2.^2)/5

%% EVEN
b  = [1 2 3 4 5 6];
B  = fft(b);
B1 = abs(B);
B2 = abs([B(1) 2*B(2:3) B(4)]); 

Eb =sum(b.^2)
EB1=sum(B1.^2)/6
EB2=sum(B2.^2)/6

输出是：

Ea =  55
EA1 =  55
EA2 =  65
Eb =  91
EB1 =  91
EB2 =  107

一侧的缩放是为了保留幅度信息而不是为了计算 Parseval 定理？

1个回答

Parseval 定理说以下关系成立

\sum_{n = 1}^{N} a [n] a^{*} [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} A [k] A^{*} [k]

$\sum_{n=1}^{N} a[n]\,a^*[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} A[k]\,A^*[k]$ 在哪里

A [k]

$A[k]$ 是离散傅里叶变换

a [n]

$a[n]$ , 都假定为长度

N

$N$ （无填充）。这是因为从时域和频域计算的信号能量必须相等。有关此公式如何产生的更多详细信息，请参阅此答案。

如果要计算单侧频谱，则需要丢弃负频率（当信号为真实时，负频率是多余的）。但是，由于这些条目中包含一半能量，因此您需要将剩余 bin 中的能量乘以 2 - DC 和 Nyquist除外。我看到你已经正确地认识到奈奎斯特只存在于 $N$ 是偶数，并且第一个条目是直流分量，无论 $N$ - 好的。但是，您将幅度乘以 2（直接在 FFT 之后），而不是能量 - 负频率区间包含能量的一半。

相反，一旦您使用 FFT 算法计算了离散傅立叶变换（您的变量 $A$ 和 $B$ )，然后我将首先获得信号的能谱密度 $a[n]$ 使用

{ESD}_{a} [k] = | A [k] |^{2} = A [k] A^{*} [k]

$\textrm{ESD}_a[k] = |A[k]|^2 = A[k]\,A^*[k]$ 然后从这个向量中丢弃负频率。这样你就可以正确地扔掉一半的能量，你可以自信地将剩余垃圾箱中的能量乘以

2

$2$ .

以下代码说明了这一点：

%% ODD
a = [1 2 3 4 5];
A = fft(a);
ESD_a = A.*conj(A);
ESD_a_onesided = [ESD_a(1) 2*ESD_a(2:3)]; 

E_a_timedomain = sum(a.^2)
E_a_twosided = sum(ESD_a)/5
E_a_onesided = sum(ESD_a_onesided)/5

%% EVEN
b = [1 2 3 4 5 6];
B = fft(b);
ESD_b = B.*conj(B);
ESD_b_onesided = [ESD_b(1) 2*ESD_b(2:3) ESD_b(4)]; 

E_b_timedomain = sum(b.^2)
E_b_twosided = sum(ESD_b)/6
E_b_onesided = sum(ESD_b_onesided)/6

结果是正确的

E_a_timedomain = 55
E_a_twosided = 55
E_a_onesided = 55

E_b_timedomain = 91
E_b_twosided = 91
E_b_onesided = 91

编辑 - - - - - - - - - - - - - -

实际上，能量值 $55$ 和 $91$ 仅当我们假设信号采集的采样周期为 $T_s=1$ .

连续信号的信号能量 $a(t)$ 定义为

E_{s} = \int_{- \infty}^{+ \infty} | a (t) |^{2} d t

$E_s = \int_{-\infty}^{+\infty}|a(t)|^2\;dt$ 然后它的采样版本的能量是

E_{s} = \sum_{n = 1}^{N} | a [n] |^{2} \cdot T_{s}

$E_s = \sum_{n=1}^{N}|a[n]|^2\cdot T_s$ 您可以看到我们需要考虑信号采样周期才能获得正确的能量。

下面验证 Parseval 定理，如果我们例如在某个其他采样周期收集了信号 $T_s\neq 1$

Ts = 0.05; % the sampling period of acquisition
Fs = 1/Ts; % the sampling frequency of the acquisition

%% ODD
a = [1 2 3 4 5];
N = 5

A = fft(a)*Ts;
ESD_a = A.*conj(A);
ESD_a_onesided = [ESD_a(1) 2*ESD_a(2:3)]; 

E_a_timedomain = sum(a.*conj(a))*Ts
E_a_twosided = sum(ESD_a)*Fs/N
E_a_onesided = sum(ESD_a_onesided)*Fs/N

%% EVEN
b = [1 2 3 4 5 6];
N = 6

B = fft(b)*Ts;
ESD_b = B.*conj(B);
ESD_b_onesided = [ESD_b(1) 2*ESD_b(2:3) ESD_b(4)]; 

E_b_timedomain = sum(b.^2)*Ts
E_b_twosided = sum(ESD_b)*Fs/N
E_b_onesided = sum(ESD_b_onesided)*Fs/N

与输出

E_a_timedomain = 2.75 [signal^2 sec]
E_a_twosided   = 2.75 [signal^2 sec]
E_a_onesided   = 2.75 [signal^2 sec]

E_b_timedomain = 4.55 [signal^2 sec]
E_b_twosided   = 4.55 [signal^2 sec]
E_b_onesided   = 4.55 [signal^2 sec]

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