傅立叶变换是一种直观的工具，它是物理和数学领域之间的桥梁，因为它定量地描述了信号的周期性内容以及物理（和工程）应用中出现的系统的频率响应特征。至少对于稳定的系统，频率的使用是非常直观和一致的……

然而，对于不稳定的系统（和信号）来说，傅里叶变换处理起来很尴尬（如果不是无用的话）。然而，控制工程师不可避免地必须在他们的工作中频繁使用不稳定的系统。出于这个目的，傅立叶变换要么不足，要么笨拙，因此将现有的傅立叶变换推广到拉普拉斯变换，它可以方便地产生对稳定和不稳定系统的数学（复杂代数）描述，而这是傅立叶不可能实现的. 因此，拉普拉斯变换包含一个收敛区域参数。

两个变换之间的另一个区别是在非零初始条件下驱动的 LTI 系统输出的时域瞬态分析，这仅在拉普拉斯变换中成功捕获。从某种意义上说，具有初始条件的 LCCDE 可以通过（单边）拉普拉斯变换直接求解，而标准 FT 只能求解具有零初始条件（初始静止）的 LCCDE ...

对于一侧和两侧的差异，我认为斯坦利有话要说……