信息处理 - 中华民国ZZ- 变换和归零 - 吾爱随笔录

定理：让

f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} z^{n}

$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ 在哪里

z \in C

$z\in\mathbb{C}$ . 如果

f (z_{0})

$f(z_0)$ 为某些人而存在

z_{0} \in C

$z_0\in\mathbb{C}$ 然后它对所有人收敛

z \in C

$z\in\mathbb{C}$ 这样

| z | < | z_{0} |

$|z|\lt|z_0|$ . 证明：由假设得出

\exists M \geq 0 : | a_{n} z_{0}^{n} | \leq M

$\exists M\ge0 : |a_nz_0^n|\le M$ 对全部

n \in N

$n\in\mathbb{N}$ . 我们有

| a_{n} z^{n} | = | a_{n} z_{0}^{n} | | \frac{z}{z_{0}} |^{n} \leq M | \frac{z}{z_{0}} |^{n}

$|a_nz^n|=|a_nz_0^n||\frac{z}{z_0}|^n\le M|\frac{z}{z_0}|^n$ . 通过比较定理和几何级数的行为，我们得出结论：

f (z)

$f(z)$ 收敛于

| z | < | z_{0} |

$|z|<|z_0|$ .

所以如果我们选择 $z_0$ 这样 $f(z_0) = 0$ ，然后 $f(z)$ 收敛于 $|z|\lt|z_0|$ （因为 $f(z_0) = 0$ 意思是 $f(z_0)$ 存在）。换句话说，ROC $\mathcal{Z}$ -变换取决于极点和零点的位置 $f(z)$ 但根据文献，ROC 仅取决于两极的位置。那么我的错误是什么？零的位置会影响 ROC 吗？