取 b 非零的方程 b/(xc)。当 x 接近 c 时，该比率变为无穷大。所以 c 是一个极点的位置（图中高而尖的东西）。

取 c 非零的方程 (xb)/c。当 x 接近 b 时，该比率变为零。所以 b 是通常称为“零”的东西的位置。

您不仅可以使用标量 x 执行此操作，还可以使用复数 x 执行此操作，因此极点和零点的域将位于（复）平面上而不是直线上。

如果该比率代表有关滤波器响应的某些信息，则当输入处于或接近响应“零”时，它可能会说滤波器输出处于或接近于零。当 x 接近极点时，可能会发生坏事（当被要求提供无限安培时，电源开始冒烟，数学运算产生 NaN 或定点溢出等）

为了补充其他好的答案，我发现以下图形有助于获得更好的直观理解，更具体地说是传递函数的极点和零点。

（更新：我也刚刚看到@Endolith 的另一个类似的帖子，非常好：极点与频率响应的关系）

下面是左半平面有两个极点的低通滤波器的传递函数，由滤波器脉冲响应的拉普拉斯变换给出。这是一个模拟系统，但可以对 z 域而不是 s 域中的数字系统进行等效描述。

左边的图是我们在引入极点和零点时看到的典型图表，显示它们在 s 平面上的位置，注意极点是 s 的值，它使方程 X(s) 趋于无穷大，而零是使方程 X(s) 变为零的 s 值。所以是的，这个特定的系统在无穷远处也有两个零，因为 s 的这些值确实使方程变为零。

右侧是一个 3D 图，显示了复平面上所有 s 值的 X(s) 大小。有趣的是，这是唯一一个由这样的多项式比率得出的图，因此我们仅从极点和零点位置完全描述了它！因此，在这种情况下，这个表面上的每个点都可以简单地从给定的两个极点位置进行通信。

值得注意的是，我们经常对滤波器或系统的频率响应感兴趣。s 是复平面上允许有实部和虚部的输入。具体而言，当 s 是 a 仅具有恒定虚数值时，我们描述的是恒定频率。轴的切片将显示滤波器的幅度响应，如上图右上角所示（等效于傅里叶变换的幅度）滤波器的脉冲响应）。$j\omega$

上面的 3D 图形中没有显示的是“收敛区域”，它显示了 s 的所有值，其中拉普拉斯变换收敛到一个有限值，具体取决于系统是因果系统还是反因果系统。

网络（黑匣子）的传递函数通常是具有分子和分母多项式的有理函数。根据高斯代数基本定理，多项式也可以写成多项式零点的乘积。因此，分母多项式的零点创建了传递函数的极点（1 / 零 = 无穷大 -> 极点）。分子多项式的零点是传递函数的零点。

另见：http ://www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

首先，您应该将 z 平面视为一组复指数信号。如果$z = z_0$，则对应的离散信号$Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$. 如果$|z_0|<1$，这是一个衰减信号。

其次，极点和零点用于描述 IIR 系统，即具有反馈的系统。

零很容易：如果系统在$z_0$，这意味着一个信号定义为$z_0$在 z 平面上将通过反馈回路并与自身严格异相求和，从而导致零输出。极点有点棘手：如果系统在$z_0$，这意味着一个系统将产生这个信号，而不是它受到干扰和自由移动。显然，如果系统有一个用于增加信号的极点（$|z_0|>1$)，它是不稳定的。设计滤波器时，应放置零点以抑制不需要的频率。极点的放置使得

• 它们消除了零点对要通过的频率的影响
• 过滤器保持稳定