信息处理 - 两个（平行）最小相位滤波器的总和何时也是最小相位？ - 吾爱随笔录

信息处理过滤器设计无限脉冲响应最小相位

2022-02-06 16:06:01

假设我有两个最小相位滤波器：

\frac{A (z)}{B (z)} and \frac{C (z)}{D (z)}

$\frac{A(z)}{B(z)} \: \text{ and } \: \frac{C(z)}{D(z)}$

即、、和的根都在稳定区域。 $A(z)$ $B(z)$ $C(z)$ $D(z)$

如果将它们加在一起：

\frac{A (z)}{B (z)} + \frac{C (z)}{D (z)} = \frac{A (z) D (z) + C (z) B (z)}{B (z) D (z)}

$\frac{A(z)}{B(z)} + \frac{C(z)}{D(z)} = \frac{A(z)D(z) + C(z)B(z)}{B(z) D(z)}$

结果是因果的，并且是稳定的（因为的根也在稳定区域中）。但它可能不是最小相位，因为分子可以（通常）在稳定区域之外有零。 $B(z) D(z)$ $A(z)D(z) + C(z)B(z)$

这个求和滤波器也是最小相位需要什么条件？

编辑：我在这里找到了充分但非必要的条件，但这并不是我所希望的

2个回答

只看它，我可以看到它与控制理论有关。如果你做一个人为的开环增益然后用单位增益反馈包裹它，你会得到。

H (z) = \frac{A (z) D (z)}{B (z) C (z)}

$H(z) = \frac{A(z)D(z)}{B(z)C(z)}$

G (z) = \frac{A (z) B (z) C (z) D (z)}{A (z) D (z) + B (z) C (z)}

$G(z) = \frac{A(z)B(z)C(z)D(z)}{A(z)D(z) + B(z)C(z)}$

因此，任何将作为开环增益的稳定性测试都将同样是一个测试，看看您的总和是否是最小相位系统。如果您有一些参数变化，那么您可以使用根轨迹图、波特图或奈奎斯特图分析，或稳健的控制方法来确定在保持系统最小相位的同时可以容忍的变化量。 $H(z)$

举个例子，如果你让你的传递函数是那么你可以很容易地将它作为一个根-locus 问题，并且通过一些努力，您可以将其放入 Bode 图形式或将其输入到设计用于在域中工作的强大控制解决方案中。

k \frac{A (z)}{B (z)} + \frac{C (z)}{D (z)}

$k\frac{A(z)}{B(z)} + \frac{C(z)}{D(z)}$

z

$z$

从这里到那里可能有比通过控制理论更直接的路径，但是我的锤子上面写着“控制理论”，天哪，你的问题对我来说看起来很像钉子！

我认为你在那里不会有太多的运气。最小相位意味着所有多项式的所有根都在单位圆内。这意味着两个多项式的乘积也将在单位圆内有根，因此、和都是好的。 $A,B,C,D$ $A \cdot D$ $B \cdot C$ $B \cdot D$

但是，它对。多项式和的根是一个不确定的问题，并且没有简单的方法将它们表示为单个多项式的根。见https://math.stackexchange.com/questions/1789320/roots-of-sum-of-two-polynomials-with-known-roots $A \cdot D + B \cdot C$

恐怕您需要根据具体情况一次完成一个

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