信息处理 - sinc 函数的自相关 - 吾爱随笔录

sinc 函数的自相关

信息处理自相关傅立叶

2022-02-17 17:26:13

我在计算
要计算的 sinc 函数的自相关时遇到问题

R_{h h} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} sinc (t) sinc (t - τ) d t

$R_{hh}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sinc}(t) \ \operatorname{sinc}(t-\tau) \ \mathrm{d}t$
在哪里

sinc (t) ≜ {\begin{cases} \frac{\sin (π t)}{π t} & t \neq 0 \\ 1 & t = 0 \end{cases}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \begin{cases} \dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} \qquad & t \ne 0\\ \\ \quad \ \ 1 & t = 0 \end{cases}$

结果是另一个 sinc 函数吗？

1个回答

由于对称性 $\operatorname{sinc}(t)$ 我们有

R_{h h} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} sinc (t) sinc (t - τ) d t = \int_{- \infty}^{\infty} sinc (t) sinc (τ - t) d t = sinc (τ) * sinc (τ)

$R_{hh}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sinc}(t) \ \operatorname{sinc}(t-\tau) \ \mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sinc}(t) \ \operatorname{sinc}(\tau-t) \ \mathrm{d}t = \operatorname{sinc}(\tau) \ast \operatorname{sinc}(\tau)$

在频域分析我们有

F (R_{h h} (τ)) = F (sinc (τ))^{2} = rect (f)^{2} = rect (f)

$\mathcal{F}(R_{hh}(\tau)) = \mathcal{F}(\operatorname{sinc}(\tau))^2=\operatorname{rect}(f)^2=\operatorname{rect}(f)$

\Rightarrow R_{h h} (τ) = F^{- 1} (F (R_{h h} (τ))) = F^{- 1} (rect (f)) = sinc (τ)

$\Rightarrow R_{hh}(\tau)=\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(R_{hh}(\tau))) = \mathcal{F}^{-1}(\operatorname{rect}(f))=\operatorname{sinc}(\tau)$

在哪里 $\operatorname{rect}(f)$ 表示频域中的矩形函数

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