信息处理 - 为什么系统是等价的？ - 吾爱随笔录

信息处理时频

2022-02-18 20:01:21

为什么这两个系统是等价的？

系统一：
$x [n] ⟶ ↑ 3 ⟶ ↓ 4 ⟶ y [n]$ $\boxed{x[n]}\longrightarrow\boxed{\uparrow 3}\longrightarrow\boxed{\downarrow 4} \longrightarrow\boxed{y[n]}$
系统二：
$x [n] ⟶ ↓ 4 ⟶ ↑ 3 ⟶ y [n]$ $\boxed{x[n]}\longrightarrow\boxed{\downarrow 4}\longrightarrow\boxed{\uparrow 3} \longrightarrow\boxed{y[n]}$

通过及时绘制第一个系统的输出我的第一个结果 $4$ 样品：

y [0] = x [0], y [1] = 0, y [2] = 0, y [3] = x [12]

$y[0]=x[0], y[1]=0,y[2]=0,y[3]=x[12]$

通过及时绘制第二个系统的输出我的第一个结果 $4$ 样品：

y [0] = x [0], y [1] = 0, y [2] = 0, y [3] = x [4]

$y[0]=x[0], y[1]=0,y[2]=0,y[3]=x[4]$

为什么这个说法是正确的？

1个回答

上采样（通过 $M$ ）和下采样（通过 $N$ ) 是可互换的当且仅当 $M$ 和 $N$ 是互质的（即，它们除了除 $1$ ）。在您的示例中就是这种情况，因为 $2$ 和 $3$ 是互质的。

想想你在时域中的具体例子。引入信号 $u[n]$ 在上采样器和下采样器之间。在第一种情况下，您有

u [n] = {\begin{cases} x [n / 3], & n = 3 k, k \in Z \\ 0, & otherwise \end{cases}

$u[n]=\begin{cases}x[n/3],& n=3k,\quad k\in\mathbb{Z}\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$

和

\begin{matrix} (1) & y [n] = u [4 n] = {\begin{cases} x [4 n / 3], & 4 n = 3 k, k \in Z \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$y[n]=u[4n]=\begin{cases}x[4n/3],& 4n=3k,\quad k\in\mathbb{Z}\\0,&\text{otherwise}\end{cases}\tag{1}$

在第二种情况下，您有

\begin{matrix} (2) & u [n] = x [4 n] \end{matrix}

$u[n]=x[4n]\tag{2}$

和

\begin{matrix} (3) & y [n] = {\begin{cases} u [n / 3], & n = 3 k, k \in Z \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$y[n]=\begin{cases}u[n/3],& n=3k,\quad k\in\mathbb{Z}\\0,&\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$

和 $(2)$ 你得到

\begin{matrix} (4) & y [n] = {\begin{cases} x [4 n / 3], & 4 n = 3 k, k \in Z \\ 0, & otherwise \end{cases} \end{matrix}

$y[n]=\begin{cases}x[4n/3],& 4n=3k,\quad k\in\mathbb{Z}\\0,&\text{otherwise}\end{cases}\tag{4}$

这与 $(1)$ .

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