LTI系统的决定性特征之一是它们不能生成任何输入中尚不存在的新频率。

了解为什么会这样的一种方法是观察输出的傅里叶变换$Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$$ 仅在脉冲响应 存在时成立，并且仅在系统为 LTI 时才存在。$h(t)$

稍加思考，由一个简单的图形引导，并使用上面的卷积乘法属性，我们可以看到支持 为非零的频率集），输出由输入的支持区域和与 LTI 系统的 频率响应的交集$R_y$$Y(\omega)$$Y(\omega)$$R_x$$R_h$$X(\omega)$$H(\omega)$

$$R_y = R_x \cap R_h$$

从集合代数我们知道如果那么和。也就是说，相交总是小于或等于相交的内容。的支持区域将小于或最多等于的支持。因此，在输出端不会观察到新的频率。$A = B \cap C$$A \subset B$$A \subset C$$Y(\omega)$$X(\omega)$

由于该属性是成为LTI系统的必要条件，因此任何不具备该属性的系统都不能成为 LTI。

给定您提供的前提，您可以进行简单的代数论证。如果：

$$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$$

其中是输入信号的频谱， ) 是系统的频率响应，那么很明显，如果输入信号中的 \omega ，则；没有可以乘以产生非零值的$X(\omega)$$H(\omega$$\omega$$X(\omega) = 0$$Y(\omega) = 0$$H(\omega)$

话虽如此，为 LTI 系统确定我在上面开始的前提的真实性确实需要一些工作。但是，如果我们假设它是正确的，那么 LTI 系统不能将任何新的频率分量引入其输出的事实就直接出现了。

为什么 意味着 LTI 系统不能产生任何新频率？$Y(ω)=X(ω)H(ω)$

如果某个频率在我们的输入中不存在，则。因为 0 服从乘法恒等式 ,。因此频率不存在于输出信号中。$\omega_\text{abs}$$X(\omega_\text{abs}) = 0$$\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$$Y(\omega_\text{abs}) = 0$$\omega_\text{abs}$

为什么如果一个系统产生新的频率，那么它就不是 LTI？

假设我们的输入是。那么如果我们假设我们的系统可以产生新的频率，就有可能得到输出。因为我们找不到常数使得，所以我们的系统不是 LTI。$x(t) = \cos(t)$$y(t) = \cos(2\cdot t)$$c_1, c_2$$y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

LTI 系统被纯频率对角化。正弦/余弦是线性系统的特征向量。换句话说，任何单个非零正弦或余弦（或复顺式）输入都具有完全相同频率的正弦或余弦输出（但输出幅度可能会消失）。

唯一可能改变的是它们的幅度或相位。因此，如果输入中没有给定频率的正弦波，那么输出端的该频率将一无所获（零）。

第二个问题由对立或 regula falsi 回答：如果为真，则也是如此。如果一个系统是 LTI，它不会产生新的频率。如果一个系统产生新的频率，它就不是 LTI。$A\implies B$$\overline{B}\implies \overline{A}$