信息处理 - 确定一个系统是否是 BIBO 稳定的 - 吾爱随笔录

确定一个系统是否是 BIBO 稳定的

信息处理冲动反应

2022-02-01 21:29:42

我正在尝试确定是否具有脉冲响应的系统

h (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - 2 n)

$h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-2n)$

BIBO 是稳定的。我已经很长时间没有接触过这些材料了——有人可以伸出援助之手吗？我记得需要证明

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty,

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \, dt < \infty,$

但是的定义方式很奇怪，计算积分被证明是困难的。 $h(t)$

编辑：以下论点是否合理？由于对无限数量的函数求和，因此每个函数都有一个的某个唯一值。因此，有无数个值，其中，所以积分发散。 $\delta$ $0$ $t$ $t$ $\delta(t-2n)=1$

2个回答

在你的情况下

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = \int_{- \infty}^{\infty} h (t) d t = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - 2 n) d t = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} δ (t - 2 n) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)dt= \int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-2n)dt= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-2n)dt$

而且因为

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - 2 n) d t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-2n)dt=1$

（正如 Dilip Sarwate 在他对 Phonon 答案的评论中正确指出的那样），上述总和是

\sum_{n = - \infty}^{\infty} 1 = 1 + 1 + 1 + \dots = \infty

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}1=1+1+1+\ldots=\infty$

我相信这基本上是您在问题中给出的论点。

暗示：

从内向外简化表达式。

首先看. 是否会变为负数？你能简化绝对值表达式吗？ $|h(t)|$ $h(t)$

一旦你这样做了，你的论点就会奏效。有几种方法可以评估这个积分。其中之一是表明

lim_{N \to \infty} \int_{- N}^{N} (\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - 2 n)) d t \to \infty .

$\lim_{N\rightarrow \infty} \int^N_{-N}\left( \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-2n) \right)dt \rightarrow \infty.$

随着变大，您将在积分下捕获越来越多的脉冲。 $N$

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