让$h(t)$表示 LTI 系统的脉冲响应。然后，对于任何输入$x(t)$，输出为

$$y(t) = \int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t-\tau)\,\mathrm d\tau.$$ 特别是对输入的响应$x(t) = \exp(j2\pi ft)$是 $$\begin{align} y(t) &= \int_{-\infty}^\infty h(\tau)\exp(j2\pi f(t-\tau))\,\mathrm d\tau\\ &= \exp(j2\pi ft)\int_{-\infty}^\infty h(\tau)\exp(-j2\pi f\tau)\,\mathrm d\tau\\ &= H(f)\exp(j2\pi ft),\tag{1} \end{align}$$ 在哪里$H(f)$是脉冲响应的傅里叶变换 $h(t)$. 换句话说，对于具有脉冲响应的 LTI 系统$h(t)$, 输入$\exp(j2\pi ft)$产生输出$H(f)\exp(j2\pi ft)$. 这正是我们对 LTI 系统频率响应的定义（称之为$FR(f)$目前）：

对于每个频率$f$, 回应$\exp(j2\pi ft)$是$FR(f)\exp(j2\pi ft)$这只是一个（复数）常数乘以输入复数指数。

但$(1)$表明$FR(f)$只是$H(f)$, 脉冲响应的傅里叶变换$h(t)$，这就是你想要证明的。

直观的答案是，在 t=0 的时间脉冲包含所有等量级的频率，因此对 LTI 系统应用脉冲与一次应用所有频率相同，因此结果是系统对所有频率的响应，即频率响应。对于一个真实世界的例子，您可以通过用加速度计检测机械系统并用锤子敲击它来找到机械系统的总频率响应，这近似于脉冲。当我在八十年代初从事航天飞机工作时，这正是我们确定 Ku 波段综合通信和雷达系统的频率响应的方式，这是一个复杂的机械 LTI 系统。一旦知道频率响应，我们过滤输入控制信号以避免激发可能使系统不稳定的机械共振模式。

关键成分是傅里叶变换的基函数$\exp(i \omega t)$是 LTI 系统的特征函数。这意味着 LTI 系统可以表示为傅里叶基中的对角线性算子。或者换句话说：要在频域中应用 LTI 系统，您只需将它们的频率响应相乘。将 LTI 系统应用于信号意味着将系统频率响应与信号的傅里叶变换相乘。

现在要测量系统的频率响应，我们可以让系统作用于具有已知无处消失傅里叶变换的信号，理想情况下甚至是具有恒定单位傅里叶变换的信号$F\{s(t)\}(\omega)=1$，也就是时域的单位冲激函数。然后得到的傅立叶变换乘以 1 乘以 LTI 频率响应，因此它是系统的频率响应。

这不正是您所要求的，因为计算发生在频域中。但是我们可以在计算过程中的任何时候在时域和频域之间切换。所以你可以在时域中运行你的单位脉冲信号通过系统得到系统的脉冲响应，最后才进行傅里叶变换。这就是为什么脉冲响应的傅里叶变换是频率响应的原因。

这一切都可以用数学和更严格的方式来解释，但我认为即使是这种略显肤浅的描述，你也应该能够看到其中的联系。如果您需要更多详细信息，请告诉我。

当输入是形式的特征函数时，频率响应是系统的特征值$e$^{$j\omega n$}.

自己解决得到$\displaystyle \sum_{k=-\infty}^\infty h[k]$e^{$-j\omega k$}，这是傅里叶变换$h[n]$.