信息处理 - 理想的重建过程BIBO是否稳定？ - 吾爱随笔录

理想的重建过程BIBO是否稳定？

信息处理稳定重建数模正弦

2022-02-04 23:14:12

众所周知，理想的低通滤波器，即脉冲响应为 $h(t) = \text{sinc}(t)$ , 不是 BIBO 稳定的，因为 $h(t)$ 不是绝对可积的。但是，将理想的重建过程视为将离散信号转换为连续时间带限制信号的过程。在公式中，如果 $x_n$ 是离散信号，则对应的输出为

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x_{k} sinc (\frac{t - k T}{T}) .

$\begin{equation} x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x_k \text{sinc}\left(\frac{t - kT}{T}\right). \end{equation}$ 这个过程可以看作是 DAC 的组成，它将离散信号转换为相应的脉冲序列连续信号，以及理想的低通滤波器。这个过程是BIBO吗？

1个回答

这个过程是BIBO吗？

并不真地。首先，让我们正确地写它

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x_{k} sinc (\frac{t - k T}{T}) .

$\begin{equation} x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x_k \text{sinc}(\frac{t - kT}{T}). \end{equation}$

我们可以选择一个有界输入序列 $x_k$ 最大化输出为

x_{k} = sign (sinc (\frac{t - k T}{T}))

$x_k = \text{sign}( \text{sinc}(\frac{t - kT}{T}))$ 在哪里

sign ()

$\text{sign}()$ 是符号函数。

让我们评估一下 $t = T/2$

x (\frac{T}{2}) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} | sinc (\frac{1}{2} - k) | = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} | \frac{\sin (π / 2 - k π)}{(k - 1 / 2) π} | = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{| k - 1 / 2 | π}

$x(\frac{T}{2}) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} |\text{sinc}(\frac{1}{2}-k)| = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} |\frac{\sin(\pi/2- k\pi)}{(k-1/2)\pi} | \\= \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac{1}{|k-1/2|\pi}$ 不收敛。

在实践中，这几乎没有什么区别，因为理想的重建是不可能的，而且每个真正的 DAC 都有一个随意的（但不是理想的）低通滤波器。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇计算相位响应：我们是否将方程改写为形式ej φ ( ω )C(eω _)ejϕ(ω)C(ejω)? 下一篇对图像应用 X 和 Y 导数的结果是什么？和其他高斯问题