信息处理 - 用 N 点 DFT 表示 2N 点 DFT - 吾爱随笔录

信息处理自由度在家工作考试

2022-02-24 03:07:33

我在用 X1 表示 X2 的奇数样本时遇到问题。我知道，由于更多的样本，在表达信号 x[n] 的精确频谱方面，得到的 DFT 将更加精确。此外，我知道 X2(k) 的偶数样本是 X1(k) 谱的副本，但是我不知道如何在数学上计算奇数。

任务如下：

让 $x[n]$ 是一个带周期的周期序列 $N_1$ . 因此 $x[n]$ 也是周期性的 $N_2 = 2 N_1$ . 我们可以计算 $X_1[k]$ ： $N$ - 点 DFT 的 $x[n]$ 和 $X_2[k]$ ： $2N$ - 点 DFT 的 $x[n]$ .

1个回答

考虑一个序列 $x[n]$ 长度 $N$ 谁的 $N$ 点 DFT 是 $X[k]$ . 然后让 $X_2[k]$ 成为 $2N$ - 点 DFT 的 $x[n]$ .

正如你所说，偶数索引样本 $X_2[k]$ 将很容易显示为：

X_{2} [k] = X [k / 2], k = 2 m, m = 0, 1, . . ., N - 1

$X_2[k] = X[k/2] ~~~,~~~k = 2m, m=0,1,...,N-1$

然后奇数索引样本 $X_2[k]$ 将由 $N$ 信号的点 DFT $x[n] e^{-j \frac{\pi}{N} n }$ , $n=0,1,...,N-1$ .

X_{2} [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j \frac{π}{N} n} e^{- j \frac{2 π}{N} k n} = X [k + 0.5], k = 2 m + 1, m = 0, 1, . . ., N - 1

$X_{2}[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{\pi}{N} n} e^{-j \frac{2\pi}{N} k n} = X[k + 0.5] ~~~~ ,~~~ k =2m+1, m=0,1,...,N-1$

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