信息处理 - 布洛赫方程：添加渐变 - 吾爱随笔录

我有一个用 Python 实现的 bloch 模拟。实现非常简单，如下：

import numpy as np

GYRO = 267538030.3797  # in radians / s / T
T1 = 0.3
inv_T1 = 1.0/0.3
T2 = 0.05
inv_T2 = 1.0/0.05
M0 = 1.0 

# This function is called at various time steps
def bloch(self, M, B):
    # Solve bloch equation in rotating frame.
    # M: Magnetization vector
    # B: Effective magnetic field
    return GYRO * np.cross(M, B) - [M[0] * inv_T2,
                                    M[1] * inv_T2,
                                    inv_T1 * (M[2] - M0)]

现在，在激励期间，有效场由下式给出：所以，伪代码为：

\begin{aligned} B [0] & = rf (t) \cos (2 π ω_{e f f} t) \\ B [1] & = rf (t) \sin (2 π ω_{e f f} t) \\ B [2] & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} B[0] &= \textrm{rf}(t) \cos(2 \pi \omega_{\rm eff} \ t) \\ B[1] &= \textrm{rf}(t) \sin(2 \pi \omega_{\rm eff} \ t) \\ B[2] &= 0 \end{align}$

假设 RF 激发是共振的，即，我跟踪自旋磁化强度随时间的演变，它起作用了，在放松几秒钟后，我们得到了这条曲线： $\omega_{\rm eff} = 0$ T1

因此，横向磁化开始消失，纵向磁化恢复。

现在，我想模拟在 RF 脉冲之后应用的读出梯度。现在，当射频脉冲关闭时，有效磁化强度的和值为 0。每个时间步长有效场的分量由梯度幅度和位置的乘积给出。所以， $X$ $Y$ $Z$

\begin{aligned} B [0] & = B [1] = 0 \\ B [2] & = g * p \end{aligned}

$\begin{align} B[0] &= B[1] = 0 \\ B[2] &= g * p \end{align}$

现在，当我使用相同的方程来解决这个问题时，我得到了无意义的结果，如下图所示：

正如你所看到的，这些数字不在图表之列，我期待着最后的回声。渐变是一个简单的梯形渐变，我检查了单位，这一切都说得通。我想知道我在存在梯度的情况下对有效场的表达是否正确？我也看到这些被表示为旋转矩阵，我想知道是否有类似的东西我可能错过了。

更新

根据 M529 的建议，我做了以下实验：

# Change the method to ignore relaxation effects
import numpy as np

GYRO = 267538030.3797  # in radians / s / T

# This function is called at various time steps
def bloch(self, M, B):
    # Solve bloch equation in rotating frame.
    # M: Magnetization vector
    # B: Effective magnetic field
    return GYRO * np.cross(M, B)

现在我用不同的翻转角度（从 0 到 1200）调用该方法，并注意矢量长度，它不会保持较大翻转角度的长度。所以，也许有一个数字问题。出于计算原因，我增加了射频带宽。这是不同翻转时的磁化图。这是一种奇怪的非线性效应。它首先下降，然后不受控制地爬回。