信息处理 - 基本时期x [ k n ]x[kn] - 吾爱随笔录

基本时期x [ k n ]x[kn]

信息处理离散信号周期性的

2022-02-24 13:11:33

令为基本周期为且的周期，其中和。是周期性的吗？的基本周期是多少？ $x[n]$ $N$ $y[n] = x[kn]$ $k \in \mathbb{N}$ $k\ge2$ $y[n]$ $y[n]$

这是我的答案：

如果其中那么。所以在这种情况下，基本周期是。否则简化使得其中。基本周期是，因为。 $N = mk$ $m \in \mathbb{N}$ $y[n+m] = x[k(n + \frac{N}{k})] = x[kn+N] = x[kn] = y[n]$ $\frac{N}{k}$ $\frac{N}{k}$ $\frac{N}{k} = \frac{m}{n}$ $\gcd(m , n) = 1$ $m$ $y[n+m] = x[k(n+\frac{nN}{k}) ] = x[kn + nN] = x[kn] = y[n]$

我不知道我的解决方案是否足够正确和严谨。例如，我们如何证明不存在更小的周期？

1个回答

你是对的。以下是您展示的内容。

令 $x[n]$ 为周期为 N 的周期序列：

x [n] = x [n + r N], \forall r, N \in Z^{+}

$x[n] ~=~ x[n + rN] ~~~~~,~~~\forall r,N \in Z^+$

定义 $y[n] = x[M n]$ ，其中 $M$ 为正整数；然后

y [n] = x [M n] = x [M n + r N] = x [M (n + \frac{r N}{M})] = y [n + K]

$y[n] = x[Mn] = x[Mn + rN] = x[M(n + \frac{rN}{M})] = y[n+K]$

$y[n]$ 如果是一个整数将与因此，将设置为使成为整数的任何值。 $K$ $\frac{r ~N}{M}$ $r$ $\frac{rN}{M}$

如果已经互质，则设置使作为的周期。如果它们还不是互质的，则使它们互质，然后设置使作为的周期。 $N,M$ $r=M$ $K=N$ $y[n]$ $M_c,N_c$ $r=M_c$ $K = N_c$ $y[n]$

通过将它们除以最大公约数使互质： $N,M$ $g = \text{gcd}(N,M)$

N_{c} = N / g, M_{c} = M / g

$N_c = N / g ~~~,~~~~ M_c = M / g$

那么，对于一般情况，的周期为： $y[n]$

K = \frac{N}{gcd (N, M)}

$\boxed{ K = \frac{N}{ \text{gcd}(N,M) } }$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇数字状态变量 (Chamberlin) 滤波器的频率响应下一篇具有记忆的可逆系统