对于线性时不变系统，复指数是特征函数 - 请参见此处和此处。复指数是傅里叶变换中使用的基函数，即 FT 是复指数的线性组合。

以下是此处的卷积算子由下式给出：$f(y)$

其中是 h(x) 的傅里叶。$\lambda = H(k)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}h(x)dx$$h(x)$

要查看特征向量的对角化效果，我们有定义： 。因此完整的特征向量/特征值集可以写成： 其中的每一列都是对应的特征向量。最后，因为特征向量是正交的所以我们有：

TL;DR：傅立叶是卷积的对数。

在原始（原始）域中进行卷积（线性时不变算子）是一项相当复杂的处理：它涉及算子的复杂和和乘积$h$和信号$s$在不同的指数：

使用傅里叶变换，您可以为运算符转换整个信息$h$和数据$x$在原始域到一个新的双（频）域，在$\hat{h}$和$\hat{x}$. 那么卷积的结果就变成了：

这是一个简单的索引产品。因此，术语“对角化”：来自两个指数的乘积，$[k]$和$[n-k]$, Fourier 将它们变成单个索引的乘积$[m]$次 $[m]$.

为了使上面的内容更简单一点，傅里叶是将对数与乘法进行卷积。让我们暂时忘记携带。做乘法很复杂，尤其是对于大数：必须将数千到数十相乘，然后将它们添加到数百的乘积中。对数将乘法转换为加法：您（几乎）必须将数字相加（以免进位），而不是组合不同幂的数字。

长期以来，人们一直使用对数表或对数滑动尺作为模拟计算机。对数表和标尺在计算机出现之前的日子里非常重要，可以在工程、天文学等领域进行计算。

傅立叶原理、工具和快速库是当今对数的类似物，它们帮助塑造了我们的数字世界。FFT算法通常被认为是最重要的算法之一。实际上，存在基于 FFT 的大数乘法。