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两个复数（对应于平面上的一点）的基本规则是，只有实部和虚部（对应于 x,y 坐标）相等时，它们才相等。因此复方程

$$(a^2 - b^2) + 2abi = i = 0 + i$$

相当于说点点相同$(a^2 - b^2,2ab)$$(0, 1)$

实部必须相等，虚部必须相等。

从图形上看，你有一条穿过原点的双曲线相交的交叉线的交点。用和代替和，如果这有助于你看到它。$x$$y$$a$$b$

重要的概念是一个交点在单位圆的中间，而另一个正好相反（它的负数）。这对于在单位圆上取任何数字的平方根都是正确的。一个平方根是一半，另一个是它的负数。

这是单位圆的指数性质的一部分。弧度只是一种可能的尺度。四分之一转是另一个，全转另一个。

对此进行扩展，的解是个均匀分布的点。它们被称为统一的根源。您可能更清楚第一个根为，它就在 DFT 定义中：$1^{1/N}$$N$$e^{i2\pi/N}$

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \left(e^{i2\pi/N}\right)^{-nk}$$

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$$a^2 - b^2 = 0$$

$$a^2 = b^2$$

$$a = \pm b$$

和

$$2ab = 1$$

对于$a=b$

$$2a^2 = 1$$

$$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = b$$

对于$a=-b$

$$-2a^2 = 1$$

没有真正的解决方案。

你有两组有效的方程，其中$a$和$b$是真实的：

• $a=b$和$2ab=1$
• 或者$a=-b$和$2ab=1$

第二个无解。第一个有两个解决方案（所以你总共有两个解决方案，如所写），即$\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$和$-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$. 换句话说，“正八分之一转”和“负八分之一转”都产生了$i$（四分之一转）当上升到广场时。这与实数非常相似：给定一个实数$r$， 两个都$r^2$和$(-r)^2$给出相同的结果。

让我们超越这一点。正数是 0 度转弯。负数是 180 度转弯。上升到正方形的两个都是正数，因此最后会产生一些 0 度的转弯。尽管从历史上看，复数似乎不如实数直观，但它们与它们完全一致（如果它们没有这样做，它们就不会幸存下来）。此外，从现代的角度来看，我会说复数是真正“存在”的数字，我们人类只能看到它们的影子（实数），尽管对我们盲人来说有一些巧妙的可视化，比如Heyser 开瓶器/螺旋：