这不是变量的积分$x$. 符号$x(a+T/2)$代表一个函数 $x(\cdot)$变量的$a$.

所以应用微积分的基本定理，并假设存在一个函数$G(a)$这样$G'(a) = x(a)$，那么你将拥有：

$$\int x(a+T/2) da = \int G'(a+T/2)da = G(a+T/2) + C$$

其中积分常数，$C$, 将在定积分中省略：

$$\int_{t+T}^{t-T/2} x(a+T/2) da = \int_{t+T}^{t-T/2} G'(a+T/2)da = G(a+T/2)|_{t+T}^{t-T/2}$$

所以系统没有平方函数。

谈到它的线性，您可以根据积分运算符的线性来证明这一点......

明显复杂的积分界$t+T$和 $t-T/2$, 或移位$(a+T/2)$有自变量$a$在积分里面，混淆了系统的简单性。它在不断移动的窗口上计算符号区域$[T,-T/2]$四处走动$t$，对于具有恒定偏移的输入。所有这些成分都表明该系统可能是线性的。

为了以更清晰的方式看到这一点，稍微简化一下可能会很有用。通过可变变化$u=a+T/2$， 系统$S$变成：

$$y(t) = S(x(t))=-\int_t^{t+3T/2}x(u)\mathrm{d}u\,.$$

然后可以验证是否 $S(\lambda x_1(t)+\mu x_2(t))$等于 $\lambda S( x_1(t))+\mu S(x_2(t))$. 已经可以检查原始公式，也许简化形式更简单。