您有一个具有以下输入-输出关系的系统：

$$y(t)=\int_{-t}^{\infty}x(-3\tau)d\tau\tag{1}$$

为了检查系统是否是时不变的，我们需要将移位后的输出与移位后的输入进行比较。移位输出为

$$y(t-T)=\int_{-(t-T)}^{\infty}x(-3\tau)d\tau\tag{2}$$

移动输入意味着应用输入信号。注意，所以对移位输入的响应是$x_T(t)=x(t-T)$$x_T(-3\tau)=x(-3\tau-T)$

$$y_T(t)=\int_{-t}^{\infty}x(-3\tau-T)d\tau\tag{3}$$

如果等于 ，则系统是时不变的。因此，我们尝试替换为中的被积函数看起来像中的被积函数，这给出$(3)$$(2)$$(3)$$(2)$$-3\tau-T$$-3\zeta$

$$y_T(t)=\int_{-(t-T/3)}^{\infty}x(-3\zeta)d\zeta\tag{4}$$

现在和具有相同的被积函数，但我们看到积分下限不同。因此，，因此系统不是时不变的。$(2)$$(4)$$y_T(t)\neq y(t-T)$

作为对Matt L. 的 as-through-excellent-answer 的补充，直觉上的一些附加位，问题的简化（以简化解决方案）和反例的构建。它们可能有助于理解和解决类似的时不变/移位不变问题。

首先，直觉上：系统包含时间变量（）的膨胀。这是一个强烈的怀疑，系统可能是时变的，因为膨胀作为一个乘数而变化，而不是作为变化。虽然这不是一个证明，但有时找到一个反例比反驳这些主张更容易。$x(\tau) \to x(-3\tau)$

第二，关于简化。有些练习充满了陷阱。因此，有时，值得以更简单的方式重写它（并限制后续计算错误）。在这里，您在被积函数中有一个 ，在积分边界上有一个这可能是符号错误的原因。$-3\tau$$-t$

通过更改变量，您可以转换$u\mapsto -3\tau$

$$y(t)=\int_{-t}^{\infty}x(-3\tau)d\tau\tag{1}$$

变成更简单的形式：

$$y(t)=\int^{3t}_{-\infty}x(u)du\tag{2}$$

其中潜在的时变出现在边界中，这为我们提供了一个反例的直觉：一个函数，其积分将以非不变的方式与一起表现。$t$

第三，关于反例。从这里，我们看到积分会以某种方式截断函数。让我们用一些简单的可移位函数族来检验这个假设：让表示区间上的单位窗口。$\mathbf{1_{T}}(t)$$[T,T+1]$

对应的函数族为：$y_T(t)$

• 时为零$3t<T$
• $3t-T$当$T\le 3t< T+1$
• $1$当$T+1 \le 3t$

如果您查看区间，，则解决方案族在那里不是时不变的，所以不是全局时不变的。$[T,T+1]$$y_T(t) = 3t-T$