正弦波和余弦波的幅度响应是相同的。不同之处在于相位响应。正弦波 FT 定义中的额外 j 项在相位响应中引入了，并且由于正弦波 FT 的两个 delta 函数之间存在负号 (，相位是反对称的。他计算后得到的答案只是，但用表示为 .$\pi/2$$j*pi*(\delta(\omega+\omega0)-\delta(\omega-\omega0))$$sin\omega$$cos$$cos(\omega + \pi/2)$

视频本可以在答案处停止：

$x(t)=4+ 2e^{j(3\omega t + \pi /2)} + 4e^{j(4\omega t - \pi /2)} + 2e^{-j(3\omega t + \pi /2)} + 4e^{-j(4\omega t - \pi /2)}$

这个答案可以直接从图中读取。这个想法是总和中的项等于。你可以从傅里叶级数方程得到这个，它是，其中可能是一个复数系数，意味着它有一个幅度和一个相位。重写为，插入傅里叶级数方程，你就会得到我上面写的内容。$n^{th}$$|C_n|e^{j(n\omega t+\angle C_n)}$$x(t)=\sum_n C_n e^{jn\omega t}$$C_n$ $C_n$$C_n = |C_n|e^{j\angle C_n}$

视频所做的额外步骤只是使用欧拉公式将复指数表达式转换为 cos/sin 函数。欧拉公式的一个结果是，这就是为什么最终结果是余弦而不是正弦。$2cos(\theta)=e^{j\theta}+e^{-j\theta}$

您所做的假设是 2 个具有相反相位的复指数的总和始终为$sin$. 那不是真的。 $x(t) = 4 + 4 e^{j\omega_0 4t + \pi /2} + 4e^{-j\omega_0 4t -\pi /2} + 2e^{j\omega_0 3 t + \pi /2} + 2e^{-j\omega_0 3 t +\pi /2} = 4 + 8cos(4\omega_0 t+\pi /2) + 4cos(3\omega_0t -\pi/2)$.