简单的：

欧拉公式：

$$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$$

和

$$e^{-i\theta} = \cos(\theta) - i \sin(\theta)$$

将它们加在一起：

$$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos(\theta)$$

您应该在等式中看到这一点。

从那里通常会说：

$$\cos(\theta) = \frac{ e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{ 2 }$$

看我的文章

• 复单位圆的指数性质

以获得更广泛的解释。

第二项可以展开为

$$\begin{align} 2|a_k|\left(\frac{ e^{i(2\pi f_k t+\angle a_k)} + e^{-i(2\pi f_k t+\angle a_k)}}{2}\right) &= |a_k|e^{i\angle a_k}e^{i(2\pi f_k t)}+|a_k|e^{-i\angle a_k}e^{-i(2\pi f_k t)} \\ &= a_k e^{i(2\pi f_k t)}+a_k^*e^{-i(2\pi f_k t)} \\ \end{align}$$

由于 和和$a_k=|a_k|e^{i\angle a_k}$$a_k^*=|a_k|e^{-i\angle a_k}$$\cos\theta=\frac{ e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$