除了 Matt L. 的回答之外，我想强调一下为什么评论提到了多项式除法。考虑有限长度序列$h[n]$和$x[n]$, 有长度$N$（一个序列可以补零到长度$N$）。

现在，看看两者的卷积：

$$y[n]=h[n]*x[n]=\sum_{n'=0}^{N-1}h[n']x[n-n']$$

例如，考虑两个序列$h[n]=[1, 2, 3]$和$x[n]=[4, 6, 5]$. 他们的卷积是（在 Matlab 中）

>> conv([1 2 3], [4 6 5])

ans =

     4    14    29    28    15

现在，考虑两个多项式的乘积$h(x)=1+2x+3x^2$和$x(x)=4+6x+5x^2$（在数学中）：

Expand[(1 + 2 x + 3 x^2) (4 + 6 x + 5 x^2)]
>>> 4+14 x+29 x^2+28 x^3+15 x^4

如您所见，乘积多项式的系数等于两个序列的卷积值。

所以，现在要得到$x[n]$从$y[n]$，你需要执行多项式除法$y(x)/h(x)$：

PolynomialQuotient[4 + 14 x + 29 x^2 + 28 x^3 + 15 x^4, (1 + 2*x + 3*x^2), x]
>>> 4+6 x+5 x^2

因此，多项式的系数产生原始序列。

这种技术可以扩展到无限序列。

要在此处获得与 Z 变换的连接：有限序列的 Z 变换$x[n]$和$h[n]$由

$$H(z)=1+2z^{-1}+3z^{-2}\\ X(z)=4+6z^{-1}+5z^{-2}$$

以及输出的 Z 变换$y[n]$是（谁）给的

$$Y(z)=H(z)X(z).$$

在这里，您再次拥有多项式乘法。此外，在这里它变得更容易发现，为什么它也适用于无限序列：然后两者$H(z)$和$X(z)$成为多项式的分数，但多项式乘法的原理仍然存在。

对于确实很容易实现的有限长度序列。两个序列的卷积$x[n]$和$h[n]$

$$y[n]=x[n]\star h[n]\tag{1}$$

对应于它们的乘法$\mathcal{Z}$- 转换：

$$Y(z)=X(z)H(z)\tag{2}$$

从中

$$X(z)=\frac{Y(z)}{H(z)}\tag{3}$$

跟随。最后，$x[n]$可以通过用分子多项式计算递归滤波器的脉冲响应来获得$Y(z)$和分母多项式$H(z)$. 请注意，这个递归滤波器实际上是一个 FIR 滤波器（由于极点/零点消除），因为很明显，它的脉冲响应$x[n]$是有限长度的。

这个小 Matlab/Octave 示例应该有助于澄清这一点：

x=[1,2,3,4,5];
h=[5,4,3,2,1];
y=conv(x,h);
x2=过滤器(y,h,[1,zeros(1,4)])
x2 =

   1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000

如果你“反转反卷积”，你会得到一个卷积。查看 Matlab 卷积conv，您可以阅读单行：

卷积和多项式乘法

所以它们（几乎）是一样的。

为了理解这个想法，让我们从标准乘法开始，暂时忘记进位。如果将 123 乘以 456。

要获得“单位”（请记住，不要携带），您唯一的选择是乘以单位（$3\times 6$）。要获得十，您现在可以将十乘以单位；两个选项：123 中的十，456 中的单位，123 中的单位，456 中的十。要获得数百，您可以将数百乘以单位（两个选项）和十乘以十（一个选项）。在每一步，受影响的指数对的总和是恒定的，当您向左移动时，这个总和会增加一个单位。

多项式乘法的工作原理类似于无进位乘法：得到$x^D$术语，你必须结合术语的产品$x^d$和$x^{D-d}$， 只要$d\ge 0$和$D-d\ge 0$. 在这里你看到权力的总和$d$和$D-d$对于给定的是常数$D$, 并随着$D$. 对于（无限）Laurent 或幂级数，您会得到与多项式积（称为Cauchy 积）类似的一组术语。

现在，获取序列或信号 $(\ldots,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},\ldots)$. 您可以将其转换为简单的对象，更易于操作，通过对索引进行编码$n$成权力$z^{-n}$，因为“权力不会混合”：一个人不能混淆两种不同的权力。然后，您在序列空间和不同的幂级数之间存在双射：$\cdots+a_{-1}z^{1}+a_{0}z^{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{2}+\cdots+a_{n}z^{-n}+\cdots$. 由于您在索引和幂之间有这种类比，因此柯西积自然会编码卷积（同构）。

您可以阅读更多内容：

• 多项式、卷积和 Toeplitz 矩阵——连接点
• SE.maths：多项式的卷积和乘法是一样的吗？
• SE.maths：为什么多项式卷积等价于乘法$F[x]/(x^n-1)$?