简单地说：取一个独立的同分布的高斯噪声（蓝色，左边的一个观察值）及其梯度（绿色，右边）。幅度大致乘以梯度滤波器的范数（这里$h=[1\,-1]$)，即$\sqrt{2}$，你可以从图片中看到。

他们的平均能量 $E$因此相差一个因素$|h\|^2=\sqrt{2}^2 = 2$. 正如 Olli 所说，在更容易受到噪声影响的二阶边缘检测器中回答了类似的问题？. “可以放大两倍”这部分很重要，因为并非所有噪声或所有差分滤波器都会发生这种情况。

更一般地，随机信号$x(t)$ 通过具有频率响应的时不变滤波器$H(f)$产生一个信号$y(t)$与 PSD：

由于傅立叶域是能量守恒的，所以你得到了

这就是人们开发抗噪微分的原因，通常与平滑（例如 Savitzky-Golay 滤波器）结合使用。请参阅微分中的示例 。

请注意，在连续情况下，您应该注意不可积的过程，例如参见Variance of white Gaussian noise。