这是相当翻译等价的：

$$\text{CWT}_{s, t}x(t - t_0) = \text{CWT}_{s, t - t_0}x(t) \tag{1}$$

和

$$\langle x(t−t_0),\psi(t) \rangle= \langle x(t), \psi(t+t_0)\rangle \tag{2}$$

也就是说，当一个信号被移位时，它的表示也会被移位但不会被修改（如 LTI）。这使得它的派生特征，例如能量和范数，或大多数系数操作，是不变的——因此是术语（尽管令人愉快的误导）。

载重吨

DWT 同样在源上是等变的——即在二次采样之前。假设按 x2 进行二次采样：

$$[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 0] \rightarrow [0, 2, 4, 6, 0]$$ 现在（循环）移位 1： $$[0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0] \rightarrow [0, 1, 3, 5, 0]$$

如果它是等变的，我们会得到$[0, 0, 2, 4, 6]$- 但是现在，我们的操作（例如$\sum |\text{coef}|^2$) 将不再产生相同的结果。尽管如此，“源头”等变不仅仅是没有等变，而且一些操作可以利用它。

等变字典

可以注意到$(2)$是一个身份- 即它总是真实的。这个想法是小波的“移位”以这种方式开始定义，即“移位$t_0$“ 方法$\psi(t - t_0)$，并非所有函数都是这种情况（例如，它的傅里叶变换，作为频率的函数移动，也改变了它的宽度，打破了等方差）。以这种方式定义移位意味着使其成为卷积算子，以及派生表示 LTI。

不变性

复小波是不变的有一个重要意义：

$$\text{CWT}(x(t)) = \text{CWT}(x(t - t_0))$$

虽然等式从不严格地仅对小波成立（无限尺度除外），但可以通过进一步的步骤使移位系数之间的距离尽可能小；单独使用小波，尺度越大，距离越小。时移不变性是散射变换的基石。

请参阅相关帖子。

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但只有离散卷积而不是连续卷积

区别并不重要：它们都实现为离散卷积。不同之处在于子采样方案和小波的选择。