机器算法验证 - 我对全方差定律的证明有什么问题？ - 吾爱随笔录

我对全方差定律的证明有什么问题？

机器算法验证方差条件概率期望值条件期望时刻

2022-03-09 07:43:37

根据全方差定律，

Var (X) = E (Var (X ∣ Y)) + Var (E (X ∣ Y))

$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$

当试图证明这一点时，我写

\begin{aligned} Var (X) & = E (X - E X)^{2} \\ = E {E [(X - E X)^{2} ∣ Y]} \\ = E (Var (X ∣ Y)) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$

它出什么问题了？

3个回答

没有从第二行到第三行的过渡。自从 $\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$ 你有：

E [(X - E (X))^{2} | Y] \neq E [(X - E (X | Y))^{2} | Y] = E [V (X | Y)] .

$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$

在特殊情况下 $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$ 对全部 $y \in \mathbb{R}$ 您的工作和结果将成立，并且将是更一般结果的特例。

第三行是错误的，因为你没有 $\text{E}[X|Y]$ 在第二行。例如，如果 $Y$ 是伯努利（1/2）和 $X$ 如果是 1 $Y$ 是 1 和 -1 如果 $Y$ 为 0，那么 $\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$ （这就是你想要的）因为 $Y$ 完全了解 $X$ , 但你所拥有的会给你 $\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$ .

不会撒谎，你让我质疑自己，我不得不盯着它看了一会儿，然后它才击中我，即使我必须向自己证明 LOTV 十亿次：P

\begin{aligned} Var (X) & = E (X - E X)^{2} \\ = E (E [(X - E X)^{2} ∣ Y]) \\ \neq E (E [(X - E (X ∣ Y))^{2}] ∣ Y) \\ = E (Var (X ∣ Y)) \end{aligned}

$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$

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