我在很多机器学习文献中看到了这种期望：

$$\mathbb{E}_{p(\mathbf{x};\mathbf{\theta})}[f(\mathbf{x};\mathbf{\phi})] = \int p(\mathbf{x};\mathbf{\theta}) f(\mathbf{x};\mathbf{\phi}) d\mathbf{x}$$

例如，在神经网络的上下文中，这个期望的一个稍微不同的版本被用作使用蒙特卡洛积分计算的成本函数。

但是，我对所使用的符号有点困惑，并且非常感谢一些清晰。在经典概率论中，期望：

$$\mathbb{E}[X] = \int_x x \cdot p(x) \ dx$$

表示随机变量的“平均值”$X$. 更进一步，期望：

$$\mathbb{E}[g(X)]=\int_x g(x) \cdot p(x) \ dx$$

表示随机变量的“平均值”$Y=g(X)$. 由此看来，期望：

$$\mathbb{E}_{p(\mathbf{x};\mathbf{\theta})}[f(\mathbf{x};\mathbf{\phi})]$$

是以下的简写并且相同：

$$\mathbb{E}_{\mathbf{x}}[f(\mathbf{x};\mathbf{\phi})]$$

在哪里：

$$\mathbf{x} \sim p(\mathbf{x};\mathbf{\theta})$$

这表示随机向量的平均值$\mathbf{y} = f(\mathbf{x};\mathbf{\phi})$. 它是否正确？

按照这个逻辑，这个说法也正确吗？

$$\mathbb{E}[X] = \mathbb{E}_{p(X)}[X]$$