三角分布的参数估计

机器算法验证 估计 最大似然 优化 矩量法 三角分布
2022-03-19 00:58:03

此处发布了一个与估计具有密度的三角形分布的参数有关的问题（现已删除）

f(x;a,b,c)={0for x<a,2(x−a)(b−a)(c−a)for a≤x≤c,2(b−x)(b−a)(b−c)for c<x≤b,0for b<x.

但是这个问题值得问，所以我自己问。

估计此分布的参数的好方法是什么？

对 MLE 的讨论很好，但其他估算器可以得出富有成效的答案。

注 1：许多与 PERT 相关的文档似乎使用和来估计和，然后（鉴于此）使用矩量法。如果您特别提倡这种方法，那么对效率进行一些讨论将是最有帮助的，但至少有一些选择的理由（或类似的理由）会很重要。X(1)X(n)abc

笔记2：

[也许这应该是答案的开始，但我将把它放在这里作为目前与 ML 相关的答案的指导。]

请注意，对于 MLE，将对数似然的导数设置为零将不起作用。

例如对于已知和（我们可以通过简单的重新调整将其 wlog 取为 0,1），请参阅的 MLE 的讨论：MLE for triangle distribution？.abc

此外，一般来说，端点和的 ML 估计不是极端顺序统计。参见，例如 这里(1)ab

(1) Kotz、Samuel 和 Johan Rene van Dorp (2004)，
三角分布，（第 1 章）
Beyond Beta——其他有界支持和应用的连续分布族，
世界科学，新泽西州
（示例章节）

2个回答

使用极阶统计量作为边界的估计量，然后使用a,b

E(X)=a+b+c3

用矩来估计 是那么的容易……非常容易，c

a^=X(1),b^=X(n),c^=3X¯−a^−b^
这让我想到了如何从首先估计开始，只是为了扭转它. 在这里，但还没有估计器的任何属性。如果有人有兴趣进一步研究它，我将制作这个社区 wiki。c

1) 获得经验四分位数并形成q^1,q^3IQR=q^3−q^1

2) 使用Friedman-Diaconis 规则对数据进行分箱。

Bin size=2IQRn1/3

3) 形成经验直方图并估计作为经验频率最高的 bin 的中点。 c^

4) 然后求解方程组a,b

q1=a+(c−a)(b−a)2
q3=b+(b−c)(b−a)2

使用估计的（我从 OP 链接到的书章节中获取的逆 CDF 表达式，第 8 页）。q^1,q^3,c^

假设一个人有足够的样本量的估计值。nc

有条件地进行，基于此信息，因此值低于假定的值，并且相应。hck

然后，条件对数似然函数的导数设置为零，很容易得出答案：

c^=h∗a+k∗bn

在对称三角分布的情况下，这等于的已知值：c

c=a+b2

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