我不明白他们所说的相同概率空间是什么意思

那就是问题所在。

考虑概率论对象（随机变量、分布等）的标准方法是通过Kolmogorov 公理。这些公理是用测度论的语言构建的，但是在没有任何测度论的情况下也很可能理解简单的情况。

基本上，概率模型由三部分组成：一组$\Omega$，您可以将其各个元素视为总结“世界的真实状态”（或至少您需要了解的所有内容）；一个集合$\mathcal{F}$的子集$\Omega$（其元素是您可能需要测量其概率的可能事件）；和概率测度$P$，这是一个接受事件的函数$E \in \mathcal{F}$吐出一个数字$P(E) \in [0, 1]$（其解释是事件发生的概率$E$发生）。三重奏$(\Omega, \mathcal{F}, P)$被称为概率空间，只要它满足某些自然属性（例如，可数许多不相交事件的联合概率是它们概率的总和）。

在这个框架中，随机变量$X$是一个函数$\Omega$到$\mathbb{R}$. 在您的示例中，我们有两个随机变量：$T$（灯泡持续的时间）和$F$（灯泡来自哪个工厂）。

这两者怎么可能有相同的概率空间？

现在的问题是：我们如何定义概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, P)$和功能$T, F : \Omega \to \mathbb{R}$以模拟所考虑的问题的方式。方法有很多，一个简单的就是让$\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$. 一个元素$(f, t) \in \Omega$指定工厂的特定（非随机）灯泡$f$这将持续一段时间$t$. 然后我们定义$T(f, t) = t$和$F(f, t) = f$. 联合分布$(T, F)$然后通过指定定义$\mathcal{F}$和$P$.

我不明白...为什么这是定义的重要部分

有条件的期望$E[X \mid Y]$随机变量$X$给定另一个随机变量$Y$本身被定义为一种满足某些性质的随机变量。您可以在此处找到正式定义，但是如果您不熟悉测度理论概率，它可能看起来很神秘。基本上，这个定义没有意义，如果$X$和$Y$不在同一个概率空间上定义。但最终，在一个公共概率空间上定义两个随机变量通常没有问题，所以这个条件相当于一个技术性问题。